3.2.2. Вычислительная процедура

Для того чтобы можно было сравнить результаты обоих методов, здесь применяется та же самая корреляционная матрица, на которой демонстрировалась процедура вычислений с помощью метода главных факторов. Матрица еще раз представлена в табл. 3.17.

Таблица 3.17. Редуцированная корреляционная матрица и нагрузки первого центроидного фактора

Суммируем элементы каждого столбца и находим общую сумму . Каждую сумму столбца затем умножаем на величину что соответствует формуле (3.21). Полученные таким образом нагрузки первого фактора для шести переменных записываем в последнюю строку таблицы. Для контроля правильности вычислений используем формулу (3.18), а именно, вычислив сумму факторных нагрузок, сравниваем ее с .

Как и в методе главных факторов, определяем матрицу воспроизведенных корреляций, нижний треугольник которой приведен в табл. 3.18. Каждый из элементов этой матрицы получаем путем перемножения соответствующих элементов векторов , которые еще раз приведены в первой строке и первом столбце таблицы. Для контроля вычисляются полные суммы каждого столбца, причем принимаются во внимание также не указанные в таблице элементы корреляционной матрицы. Подсчет суммы ведется сначала по соответствующей строке матрицы до диагонали, а затем вниз от диагонального элемента по соответствующему столбцу. Умножая каждый элемент вектора а на указанную справа в верхней строке таблицы сумму Sailt получим значения, служащие для проверки сумм столбцов. Проверка считается удовлетворительной, если результаты совпадают с точностью до ошибок округления. В табл. 3.19 представлена остаточная матрица

Таблица 3.18. Матрица воспроизведенных корреляций

Таблица 3.19. Матрица первых остаточных коэффициентов корреляции

Опять достаточно записать нижний треугольник матрицы. Таким же образом, как и в табл. 3.18, образуем суммы столбцов, учитывая также элементы над диагональю. Элементы суммарной строки в табл. 3.19 должны в точности совпадать со значениями, получаемыми в результате вычитания соответствующих элементов суммарных строк табл. 3.18 и 3.17. Последняя строка в табл. 3.19 является контрольной.

Как было указано выше, сумма проекций на другие оси, ортогональные к первой центроидной, равна нулю, и, следовательно, центр тяжести системы лежит в начале координат. В соответствии с этим суммы элементов по столбцам остаточной матрицы с точностью до ошибок округления тоже равны нулю, и мы не можем прямо приступить к выделению второго фактора.

Это препятствие можно обойти, произведя отражение отдельных переменных, или векторов. Практически это означает, что меняют знаки все элементы соответствующего столбца и строки корреляционной матрицы. Диагональный элемент остается без изменения. Перемена знаков геометрически соответствует зеркальному отражению вектора относительно оси. Отсюда и происхождение этого термина. Результатом этой операции является определение нового центра тяжести, перемещающегося из начала координат в новую точку, которая является теперь отправной для нахождения второго центроидного фактора. Через новый центр тяжести должна пройти вторая центроидная ось. После выделения каждого фактора знаки отражаемых переменных опять изменяются. Следовательно, изменение знаков каждый раз аннулируется. Перемена знака является лишь вычислительным трюком, чтобы сделать возможными дальнейшие расчеты.

В табл. 3.20 схематично показана последовательность выполнения процедуры отражения путем изменения знаков в матрице остатков . В верхней части таблицы представлены знаки остаточных коэффициентов корреляции после отражения первой переменной (меняются знаки первой строки и первого столбца). Диагональные элементы не участвуют в операции отражения, поэтому на их месте стоят пустые скобки. Отрицательные знаки имеются также у второй и третьей переменных. На следующем этапе подвергается отражению вторая переменная, что находит выражение в обращении знаков второй строки и второго столбца. Результат этой операции представлен в средней части таблицы. После отражения третьей переменной все знаки корреляционной матрицы становятся положительными. Но это отнюдь не всегда достигается. Целью отражения является получение по возможности большого числа положительных знаков у наибольших коэффициентов корреляции.

В описываемой процедуре придерживаются правила, по которому первой отражается переменная с наибольшим числом минусов. Если переменные имеют одинаковое число отрицательных знаков, как в нашем примере, то выбор переменной, отражаемой в первую очередь, осуществляется произвольно. По получившемуся отображению знаков опять выбирается переменная с наибольшим числом минусов, производится ее отражение и т. д.

Может случиться, что переменная подвергается отражению два раза и более. Тогда руководствуются следующим правилом: при четном числе отражений переменной ее знаки при последующем вычислении факторных нагрузок по суммам столбцов не изменяются. Если в исходной корреляционной матрице имеется почти одинаковое число минусов и плюсов, то необходимо произвести процедуру отражения перед выделением первого центроидного фактора. Тэрстоун [286; 6] и Харман [117] приводят схему вычислительных процедур при обращении знаков. Мы воздержимся от ее описания. Отражение переменных должно выполняться осмысленно. Если изменение знаков каждой переменной записывать на каждом этапе, как это показано в табл. 3.20, то в итоге приходят к такому отображению знаков, которое для выделения следующего фактора окажется более пригодным, чем первоначальная матрица остатков.

Таблица 3.20. Отображение знаков при последовательном отражении переменных

В табл. 3.21 проводится выделение второго центроидного фактора. Номера отраженных переменных поставлены в скобки в верхней строке таблицы. Коэффициенты корреляции заимствованы из остаточной матрицы со знаками, которые были получены в результате последнего отражения. В нашем случае все переменные положительны. Ход вычислений тот же самый, что и в табл. 3.17, где производилось выделение первого фактора. Знаки сумм элементов столбцов отраженных переменных меняются на противоположные, чтобы после образования сумм аннулировать отражение. В нашем примере первые три нагрузки второго фактора отрицательны. Сумма нагрузок второго фактора должна приблизительно равняться нулю, что используется для проверки. Корреляции, воспроизведенные вторым фактором, представлены в табл. 3.22. Сумма элементов каждого столбца должна быть равна нулю с точностью до ошибок округления. Вторая остаточная матрица, полученная в результате вычитания из приведена в табл. 3.23.

Наибольший остаточный коэффициент корреляции по абсолютной величине равен -0,034. Так же как и в методе главных факторов, удовлетворимся выделением двух факторов. В табл. 3.24 представлены для сравнения первоначальное факторное отображение и результаты вычисления факторных нагрузок обоими методами. Графическое сравнение проведено на рис. 3.9, по которому видно, что конфигурация векторов не зависит от накладываемых на них систем отсчета, т. е. она одинакова как при первоначальном факторном отображении (белые кружочки), так и при центроидных факторах (крестики) и при факторах, полученных в результате применения метода главных факторов (черные кружочки).

Таблица 3.21. Выделение второго центроидного фактора

Таблица 3.22. Матрица корреляций, воспроизведенных с помощью второго фактора

Таблица 3.23. Матрица вторых остатков корреляций

В каждом случае векторы лишь немного повернуты, что объясняется различными дополнительными условиями в методах выделения факторов, и эти условия характерны только для этих методов. В гл. 3.6 будет дана матрица преобразований, позволяющая результаты одного метода перевести в другой метод.

Рис. 3.9. Сравнение первоначального факторного отображения с результатами вычислений методом главных факторов и центроидным методом в одной и той же системе координат

Первоначальное положение системы координат, которое хорошо подходит для интерпретации факторов, не достигается в точности ни при методе главных факторов, ни при центроидном методе.

Таблица 3.24. Первоначальное факторное отображение и результаты выделения факторов методом главных факторов и центроидным методом