3.5.2. Канонический факторный анализ

Описание канонического метода (canonical factor analysis) было опубликовано Рао [230; 3] в 1955 г., однако вряд ли найдутся примеры его применения до настоящего времени. В определенной степени канонический факторный анализ противоположен методу главных факторов. Здесь не ставится задача подробного изложения процедуры вычисления. Читатель сможет ознакомиться только с принципом этого метода.

Пусть две группы переменных измеряются у индивидуумов. Ставится вопрос, какому линейному преобразованию нужно подвергнуть каждую из двух групп переменных, чтобы две результирующие величины имели максимальную связь с этими переменными. Речь идет о так называемой канонической корреляции. Метод отчасти противоположен дискриминантному анализу. В дискриминантном анализе ищется максимальное разделение между двумя группами индивидуумов, в каноническом корреляционном анализе — максимальная связь между двумя группами переменных. Подробное описание метода имеется в работе Андерсона [5; 4].

Приведенные соображения Рао положил в основу разработанного им метода. По наблюдаемым переменным выделяется фактор, имеющий наибольшие коэффициенты корреляции с наблюдаемыми переменными. По остаточной матрице выделяется второй фактор, обладающий тем же свойством, и т. д., пока все внедиагональные элементы матрицы R не станут практически равными нулю. В методе главных компонент выделенный первый фактор учитывает максимально возможную долю дисперсии. В каноническом факторном анализе факторы представляют собой гипотетические величины, имеющие максимальную связь с наблюдаемыми переменными. Важным вопросом является оценка и определение факторов по наблюдаемым переменным с наибольшей точностью.

Так же как в методе максимального правдоподобия, выделенные с помощью канонического анализа факторы инвариантны относительно изменений масштаба переменных. Можно показать, что увеличение переменных на одну и ту же величину или умножение переменных на постоянную величину не приводит к изменению результирующих канонических факторов (см., например, Рао [230; 3] или Кайзера и Каффри [165]). Для этого метода разработан точный тест проверки значимости выделенных факторов. Цель исследования определяет выбор метода. Если фактор должен учитывать максимум суммарной дисперсии переменных, то применяется компонентный анализ. Если выделенный фактор должен иметь максимальную связь с переменными — канонический факторный анализ.