8.6. ПРОБЛЕМА КЛАССИФИКАЦИИ

Применяемая в факторном анализе техника R позволяет выделить группы, внутри которых переменные тесно связаны между собой. Каждая группа характеризует определенный фактор. Если для такого набора переменных существует простая структура, то ранг матрицы частных коэффициентов корреляции между переменными, которые высоко нагружают фактор, при фиксированном значении всех остальных переменных равен единице. Такие переменные тесно связаны между собой. В технике Q исследуются срязц между индивидуумами, а именно пытаются найти однородные группы индивидуумов или объектов, которые более тесно связаны между собой, чем с индивидуумами других групп.

При такой постановке задачи говорят о классификации, автоматической классификации или группировке. Задачи классификации наблюдений легко формализуются и успешно решаются на ЭВМ. Представляется целесообразным рассмотреть два типа задач.

1. Классификация при полностью описанных классах (дискриминантный анализ). Пусть известно о существовании двух или более совокупностей объектов, на которых измерены значения нескольких переменных. Задача заключается в выработке на основе имеющихся данных правила, позволяющего некоторый новый объект отнести к соответствующей совокупности, если заведомо не известно, к какой совокупности он принадлежит. Дискриминантный анализ, идея которого принадлежит Р. А. Фишеру [95; 1], мы уже рассматривали в гл. 2.5. Дискриминантный анализ тесно связан с проблемами диагностики, возникающими в экономике, промышленности, технике и медицине. Например, имеются группы больных с известными специалисту типами заболеваний. Для каждого больного описаны признаки заболевания, имеются данные лабораторных анализов. При поступлении нового пациента решается вопрос об отнесении его заболевания к уже известному типу на основании результатов обследования (см., например, Коллер [176; 5]).

2. Классификация объектов или индивидуумов при неизвестных классах (классификация без обучения). Задача состоит в разбиении объектов или индивидуумов на классы, столь различные между собой, сколь это возможно. При этом практически отсутствует априорная информация о распределении измерений внутри классов. Алгоритмы и статистические критерии, позволяющие производить оптимальное разбиение на классы, еще недостаточно хорошо разработаны. В таксономии бактерий речь идет о группировках их. по видам, подвидам и семействам на основании к имеющихся данных. Необходимость разбиения совокупности объектов на однородные группы часто возникает в медицине, антропологии, лингвистике, археологии, документалистике и психологии.

Факторный анализ тесно связан со вторым типом задач. Поэтому мы подробнее остановимся на этом типе.

8.6.1. Техника Q, применяемая для классификации

Техника Q, применяемая в факторном анализе, исходит из матрицы коэффициентов корреляций между индивидуумами. Факторы, которые выделяются с ее помощью, определяют собой группы (классы) индивидуумов. Над этой проблемой работали Ролфс и Сокал [241], а также Драйвер и Шуесслер [78]. Факторный анализ относительно редко применяется к задачам классификации. Если значимая простая структура найдена с помощью техники Q, то можно назвать определенные группы, внутри которых индивидуумы тесно связаны между собой. Если простая структура не найдена, то мы не можем точно указать группы индивидуумов.

Следовательно, критерием нахождения групп является простая структура. С помощью техники Q можно указать такие точки в пространстве, для которых матрица частных коэффициентов корреляций при фиксированном положении остальных точек равна единице. Итак, выделенные факторы определяют группы индивидуумов. Процедура нахождения групп переменных, включая вращение и проверку значимости простой структуры (критерий Баргмана), достаточно разработана. При этой процедуре выделенные факторы помогают обнаруживать такие группировки точек, которые лежат сравнительно далеко друг от друга. Как показано на рис. 8.3, число факторов и число групп переменных могут не совпадать. При такой ситуации, когда возникает затруднение в отнесении индивидуумов к определенному классу, рекомендуется вычислять для них значения факторов. Индивидуумы с высоким значением фактора приписывают к группе, определяемой этим фактором.

При решении задачи классификации с помощью Q-техники обычно используют процедуру вращения для определения простой структуры. Чаще всего группировки находят в пространстве общих факторов графическим путем. Факторы выделяются с помощью метода главных факторов.