3.3.4. Критерий значимости при использовании модели факторного анализа

Критерии значимости, используемые в компонентном анализе, нельзя без изменения перенести на модель факторного анализа, так как она включает характерные факторы. Лоули [ 182; 1] при разработке максимально правдоподобных (maximum-likelihood) оценок факторных нагрузок предложил тест, позволяющий оценить, достаточно ли точно воспроизводят корреляционную матрицу общих факторов. В этом тесте предполагается знание общностей. В различной форме этот тест приведен в книгах Лоули [182; 1], Лоули и Максвелла [183], Бартлета [15; 3] и Рао [230; 3]. Тест заключается в проверке гипотезы о том, что общих факторов вполне достаточно для воспроизведения ковариационной или корреляционной матрицы. При этом вычисляется критерий значимости

имеющий приблизительно -распределение с степенями свободы.

В этой формуле — определитель матрицы корреляций, воспроизведенных с помощью выбранной модели; — определитель исходной корреляционной матрицы; — число переменных; — число выделенных факторов и — число индивидуумов. Если при определенном вычисленное значение критерия превышает табличное значение соответствующее заданному уровню значимости, это указывает на то, что необходимо выделить факторов больше, чем , по крайней мере . Таким образом, при статистическом подходе нижней границей числа факторов, подлежащих выделению, является наименьшее число , при котором на заданном уровне значимости расчетное значение критерия (3.28) будет меньше табличного. Для работы с этим тестом необходимо, чтобы наблюдаемые переменные имели нормальное распределение, факторные нагрузки определялись методом максимального правдоподобия (а именно путем итерации до получения наилучших оценок) и чтобы было достаточно велико.

Это существенные ограничения, но они не умаляют принципиального значения теста. Данный тест является приложением метода статистической проверки гипотез к факторному анализу.

Для выборок среднего размера Бартлетт [15; 3] предложил следующую модификацию этого критерия:

где

Процедура, связанная с вычислением по формулам (3.28) и (3.29) чрезвычайно трудоемка, так как требует знания определителя.

Чтобы избежать вычисления определителей, Лоули и Максвелл рекомендуют пользоваться следующей модификацией, дающей хорошее приближение к (3.29):

В (3.30) через обозначены остаточные коэффициенты корреляции, получающиеся после выделения г факторов; через — значения характерностей переменных; п — то же самое, что в формуле (3.29). Формула (3.30) упрощает вычисления. Процедура сводится к возведению в квадрат элементов матрицы остатков, делению их на произведение и суммированию всех пронормированных таким образом элементов верхнего или нижнего угла матрицы. Если вычисленное значение критерия значимо, т. е. оно превосходит табличное значение соответствующее выбранному доверительному уровню при степенях свободы, то нулевая гипотеза, заключающаяся в том, что факторов достаточно точно объясняют выборочные коэффициенты корреляции, отклоняется.

Процедура вычисления критерия (3.30) приведена в табл для примера иллюстрирующего метод главных факторов в гл. 3.1.3. Объем выборки

100. Верхняя половина таблицы отражает результаты вычисления остатков после выделения первого фактора, нижняя половина таблицы после выделения второго фактора. В первом столбце обеих половин таблицы приведены значения характерностей полученных в результате вычитания из единицы диагональных элементов табл. 3.1. Наддиагональные элементы первой матрщы являются квадратами остатков корреляций после выделения первого фактора, заимствованных из табл. 3.8. На диагонали стоят элементы т.е. величины, обратные элементам первого столбца. Выражения являются поддиагональными элементами матрицы. Их получают путем умножения двух диагональных элементов с индексами t и k на соответствующий наддиагональный элемент матрицы. Например, первый элемент получим в результате такой операции: следующий элемент первого столбца: и т. д. Сумма поддиагональных элементов полученной нами матрицы соответствует сумме, указанной в формуле (3.30). В таблице предусмотрена строка для подсчета сумм поддиагональных элементов матрицы по столбцам.

Умножив полученную сумму на определим, что . Это значение при числе степеней свободы, равном девяти, значительно превосходит табличные значения Поэтому принимаем решение выделить второй фактор. Описанный тест опять применяем к вычислительной матрице - вторых остаточных коэффициентов корреляции (табл. 3.12). В результате получаем значение При числе степеней свободы, равном четырем, это значение является незначимым. Вычисления во второй половине табл. 3.26 аналогичны вычислениям первой половины. Результаты теста по формуле (3.30) подтверждают ожидаемый эффект. Двух факторов вполне достаточно для воспроизведения матрицы при использовании модели факторного анализа.

Таблица 3.26. Пример вычисления критерия значимости при использовании модели факторного анализа по формуле (3.30)

Критерий (3.30) для проверки значимости часто используется в центроидном методе и методе главных факторов, чтобы получить хотя бы приблизительную оценку числа факторов, подлежащих выделению. Критерии (3.28) и (3.29) основаны на прочном научном фундаменте и дают хорошую оценку для факторной модели при использовании метода максимального правдоподобия, но связаны с большим объемом вычислительных работ. Указанная аппроксимация этих формул дает вполне приемлемое решение, удовлетворяющее практиков, и поэтому рекомендуется при научных исследованиях. В связи с тем, что в приведенные формулы входят объемы выборок, при той же самой корреляционной матрице с увеличением объема выборок возрастает число значимых факторов. Общее мнение о том, что и без того в исследуемых явлениях действует много общих факторов, ослабляет значение теста. В факторном анализе применяется еще ряд статистических критериев. Познакомимся с некоторыми из них в общих чертах.

Рипп [236] разработал тест значимости в анализе главных факторов и пришел к формуле, аналогичной (3.28). Процедура, связанная с этим тестом, включает определение собственных значений ковариационной матрицы, что вызывает большой объем вычислительных работ. Кайзер и Каффри [165] использовали другой подход к оценке полноты факторизации в разработанном ими -факторном анализе, который будет обсуждаться далее. Вкратце можно сказать, что они выделяют такие факторы, которые обладают наибольшей «обобщенностью» в смысле -коэффициента, предложенного Кронбахом, Раджаратнамом и Глезером [106]. При этом речь идет не об обычном определении значимости факторов или выводе, распространяемом на всю генеральную совокупность в статистическом смысле. Вывод распространяется на область всех переменных и выделяются факторы с положительной обобщенностью а. Было показано, что при таком подходе выделяется столько факторов, сколько корреляционная матрица имеет собственных значений, превышающих единицу. Критерий -факторного анализа является широко известным и часто употребляемым на практике. Для самого -факторного анализа применение этого критерия является необходимым элементом вычислительной процедуры, но критерий может быть также использован для приблизительной оценки нижней границы числа факторов, подлежащих выделению. Однако его нельзя признать годным для всех случаев.