3.6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ ВЫДЕЛЕНИЯ ФАКТОРОВ

До сих пор при рассмотрении способов решения проблемы факторов почти не затрагивался вопрос о том, насколько результаты этих решений соответствуют друг другу или сравнимы между собой. Теперь следует показать, что различные факторные решения взаимосвязаны, поскольку исходным материалом является одна и та же корреляционная матрица с теми же самыми диагональными элементами.

Имеется бесконечно много систем координат, в которых можно представить корреляционную матрицу. Взаимосвязи двух таких систем координат формально выражаются следующим равенством:

где А — факторное отображение первого решения, a G — факторное отображение второго решения, полученного другим методом. Причем оба решения могут содержать различное число выделенных факторов. Исследование взаимосвязи между двумя факторными решениями сводится к поиску матрицы преобразования, переводящей одну систему координат в другую и позволяющей представить одно факторное решение через другое. Для ортогональных факторных отображений, полученных по одной и той же корреляционной матрице (с теми же диагональными элементами), всегда можно найти матрицу преобразования Т так, чтобы выполнялось равенство

Для любой матрицы имеет место соотношение

Умножив слева обе части (3.37) на , получим формулу для матрицы преобразования:

В силу того, что факторы ортогональны, матрица диагональна. Ее обратная матрица поэтому всегда существует и ее легко определить. Таким образом, исходя из А и G по равенству (3.39) можно найти матрицу преобразования Т, позволяющую переводить результат одного метода в результат другого.

Аналогично для двух матриц факторных значений Р и М можно показать, что

откуда следует

Итак, с помощью Т можно переводить значения факторов одного решения в значения факторов другого решения, т. е. матрица Т позволяет выяснить взаимосвязь между двумя факторными решениями. Покажем на примере построение матрицы Т по формуле (3.39). В первые две строки табл. 3.27 перенесен результат центроидного решения из табл. 3.17, обозначенный G. В строки 3 и 4 перенесен результат метода главных факторов из табл. 3.6 и 3.11, обозначенный А. Затем поэтапно проводится вычисление по формуле (3.39), а именно слева направо. В строках 13 и 14 производятся контрольные вычисления АТ. Как видно, результаты этих строк практически совпадают со значениями строк 1 и 2. Разницу можно отнести к ошибкам округления.

Таблица 3.27. Построение матрицы Т по формуле (3.39) с использованием результатов решений с помощью метода главных факторов (А) и центроидного метода (G), заимствованных из табл. 3.6, 3.11, 3.17 и 3.21

Данная проблема заключается в том, чтобы по двум факторным отображениям найти матрицу преобразования, позволяющую от одного отображения переходить к другому. В противоположность этому проблема вращения (раздел 5) состоит в том, чтобы исходя из данного факторного отображения А найти такую матрицу преобразования Т, чтобы произведение АТ давало матрицу, удовлетворяющую определенным критериям. Эту проблему решить сложнее, чем первую. Основным затруднением при этом является точное определение критериев, которые оценивают наилучшее положение системы координат, найденное в процессе вращения.

Для того чтобы можно было бы от одного факторного решения переходить к другому, необходимо исходить в обоих методах решения из одной и той же редуцированной корреляционной матрицы . Факторные решения методов, в вычислительных процедурах которых изменяются общности, в общем случае не допускают перехода от одного к другому. И напротив, для перехода от одного решения к другому не имеет решающего значения тот факт, что в одном случае был выделен только 1 фактор, а в другом — 2 или 3 фактора. Факторное отображение с меньшим числом факторов является подпространством, гиперплоскостью полного факторного отображения с большим числом факторов.

Задача, поставленная в форме решения равенства (3.37), возникает редко. Задача связана с обращением -мерной матрицы, и она значительно усложняется при коррелированных факторах. Однако ее постановка важна по дидактическим соображениям. Факторные отображения одной и той же редуцированной корреляционной матрицы эквивалентны друг другу, если они содержат одинаковое число факторов. Если одно факторное отображение содержит меньше факторов, то оно соответствует подпространству другого факторного отображения. Это еще раз подтверждает неопределенность решения факторной проблемы. В зависимости от накладываемых ограничений факторная проблема имеет то или иное решение. Результаты одного метода можно не только переводить в результаты другого, но и путем вращения изменять набор факторных нагрузок. Окончательное положение осей координат, полученное в результате процедуры вращения, весьма условно зависит от первоначального решения факторной проблемы. При условии, что в самих данных заложено простое факторное объяснение, наилучшим считается такое положение осей координат, которое дает наиболее явную простую структуру (см. раздел 5).

Иногда уже после проведения факторного анализа обнаруживают ряд переменных, коррелирующих с уже известными. В этом случае возникает вопрос: нужно ли повторно проводить весь анализ с учетом новых переменных? Поскольку это связано с дополнительными расходами, пытаются подключить новые переменные к результату уже проведенного анализа, который, естественно, должен претерпеть при этом некоторые изменения. В подобных случаях пользуются методом, получившим название повторного анализа. Метод позволяет определить связь новых переменных с факторами, выделенными по результатам первоначального анализа, Дуайер [179; 1] разработал вычислительную процедуру, благодаря которой по известным факторным нагрузкам и установленной корреляции новых переменных со старыми получают оценки вкладов от известных факторов в дисперсии этих новых переменных.

При этом исходят из того, что нагрузки факторов уже имеющегося факторного отображения не изменяются от введения новых переменных.

Мы здесь отказываемся от более подробного изложения метода Дуайера. Метод приведен в книге Фрюхтера [101]. Его вычислительная процедура связана с обращением матрицы и объем вычислительных работ не меньше, чем если бы это было связано с проведением нового анализа.