5.2. ПОНЯТИЕ ПРОСТОЙ СТРУКТУРЫ

Процедура выделения факторов часто дает ортогональное факторное отображение. Распределение долей дисперсии переменных по факторам обусловлено методом выделения. Как уже упоминалось, такая факторная структура в общем случае неинтерпретируема. Она изменяется от выборки к выборке и на нее оказывает сильное влияние введение новых переменных. Нами была выявлена пресловутая неопределенность факторной проблемы. Система координат может быть повернута вокруг ее начала в пространстве общих факторов бесконечным числом способов и может занимать бесконечно много положений.

В этом кроется причина бесконечного числа факторных решений, которые одинаковым образом могут воспроизвести исходную корреляционную матрицу. На втором этапе факторного анализа — вращении — возникает вопрос: какое же положение системы координат считать истинным, наиболее соответствующим реальным факторам? Перед тем как отвечать на этот вопрос, приведем доводы о необходимости процедуры вращения.

Цель факторного анализа состоит в выявлении среди большого числа наблюдаемых переменных гипотетических величин, содержательно интерпретируемых и по возможности наиболее просто объясняющих совокупность изучаемых переменных. Факторы должны соответствовать исходным данным, определять значения наблюдаемых переменных и служить кратким описанием существующих свйзей между ними, Факторные нагрузки должны оставаться постоянными от выборки к выборке и как можно слабее реагировать на введение новой переменной. Каждая переменная должна иметь наиболее простое факторное объяснение. Центроидное решение и решение методом главных факторов не удовлетворяют этим требованиям. Факторы, выделенные с помощью этих методов, ортогональны, а распределение долей дисперсий переменных по факторам весьма произвольно и определяется неисходными данными, а используемым методом. Такие факторы редко содержательно интерпретируются, а их нагрузки изменяются от выборки к выборке. Особенно чувствительны факторные решения, полученные центроидным методом и методом главных факторов, к введению новых переменных, так как новые переменные часто значительно сдвигают центр тяжести облака точек и этим изменяют положение осей. При вращении стремятся найти такое положение осей, чтобы появление новых переменных не оказало сильного влияния на характер финального решения. При этом новые скопления точек могут образовывать отдельные группы. Кроме того, в результате решения факторной проблемы обычно фактор определяется только несколькими переменными. При вращении же достигается такая ситуация, когда большинство переменных нагружает, например, первый выделенный фактор.

Исходя из этих соображений в общем случае решение, полученное методом главных факторов или центроидным методом, не является благоприятным для содержательной интерпретации. Поэтому занялись поиском объективных оснований для перехода от произвольного положения системы координат к такому, которое бы удовлетворяло перечисленным требованиям и давало бы в каком-то смысле предпочтительное факторное решение. Критерии нахождения наилучшего положения системы координат, отвечающего определенным принципам, могут быть непосредственно или косвенно связаны с корреляционной матрицей в зависимости от привлекаемой информации. Из всех известных критериев, которые еще будут обсуждаться в гл. 5.7; самым важным является концепция простой структуры.

Основная идея осуществления вращения до получения простой структуры связана с расположением, векторов переменных в пространстве общих факторов. Конфигурация векторов не связана ни с какой определенной системой координат. Наложение системы координат на конфигурацию должно определить факторную структуру.

Взаимное расположение векторов дает информацию для построения такой системы координат. Оси координат должны быть так наложены на конфигурацию векторов, чтобы было возможно наиболее простое (экономное) описание переменных. Решая факторную проблему, стремятся ограничиться как можно меньшим числом факторов, достаточным, однако, для линейного описания переменных. При решении проблемы вращения речь идет о том, чтобы в уже установленном нами пространстве общих факторов дать каждой переменной наиболее простое факторное объяснение. Уменьшение сложности описания переменных в терминах факторов является следствием упрощенной трактовки переменных, перехода от хаотического набора экспериментальных данных к стройной структуре, связывающей переменные с выделенными факторами. Эта структура должна быть наиболее простой.

Таким образом мы объяснили происхождение термина — простая структура (simple structure). Понятие простой структуры было впервые предложено Тэрстоуном. Им же были сформулированы условия, которым должна удовлетворять простая структура.

Рис. 5.5. Случайная конфигурация векторов

Поясним это понятие с помощью геометрических представлений.

На рис. 5.5 представлена двумерная факторная структура для случая, когда взаимосвязь между переменными не является значимой. Такое расположение точек по праву называется случайной конфигурацией. В этом случае изображение точек, представляющих переменные, в двумерном факторном пространстве не дает нам никаких указаний на то, как должна быть наложена система координат на эту конфигурацию. Одно из возможных многочисленных положений координат на рис. 5.5 обозначено через

В противоположность этому на рис. 5.6 представлена ортогональная простая структура. Точки, взаимное расположение которых на графике обусловлено корреляционной матрицей, отчетливо разделяются на две группы. Процедура выделения факторов привела к системе координат FXF2. Укажем на одно из бесчисленных других возможных положений системы координат, которое не изменяет конфигурации векторов, но с определенной точки зрения является примечательным. Эта система координат отличается от других тем, что ее оси, обозначенные проходят через центры тяжести скоплений, или облаков, точек. Если такая предпочтительная система координат существует, то она зависит лишь от структуры данных, т. е. от расположения точек и тем самым от корреляционной матрицы.

Однако если в определённых областях пространства существуют некоторые скопления точек — связки векторов, то это является хорошим обоснованием к определению предпочтительного расположения системы координат. На рис. 5.6 система координат лучше подходит для простого описания переменных, чем первоначальная система FF, являющаяся результатом некоторого факторного решения. При случайной конфигурации векторов такая ситуация невозможна. При проецировании скоплений точек на новые оси можно заметить следующую особенность. Часть проекций значительна по величине, а часть близка к нулю. Та переменная, которая расположена ближе к фактору, больше его и нагружает. Взаимное расположение новых факторных осей и переменных на рис. 5.6 позволяет интерпретировать переменные в факторных терминах, так как переменные близко расположены к осям и в значительной степени нагружают соответствующие факторы. Факторам можно дать содержательное объяснение. Фактор определяется переменными, изображенными в виде темных кружков, а фактор — переменными, изображенными в виде светлых кружков.

Рис. 5.6. Ортогональная простая структура. Точки, представляющие на графике переменные, расположены так, что оси ортогональной системы координат могут быть проведены через центры тяжести их скоплений

К сожалению, на практике вряд ли встретится такая четкая структура. Наблюдаемые переменные в факторном пространстве большей частью занимают промежуточное положение между двумя описанными экстремальными случаями — случайной конфигурацией и ортогональной простой структурой. При этом особо следует отметить случай, когда скопления точек, если они вообще существуют, не лежат на осях, ортогональных друг другу. Этот случай соответствует так называемой косоугольной простой структуре, схематично изображенной на рис. 5.7. Если на данную конфигурацию векторов наложить систему координат то светлые кружочки, соответствующие одной группе переменных, будут находиться вблизи оси а темные кружочки, соответствующие другой группе переменных, будут значительно удалены от оси

Если же выбрать другое положение системы координат, обозначенное на рисунке пунктирными линиями, то картина изменится на. противоположную, т. е. темные кружочки будут расположены вблизи оси , а светлые — на некотором расстоянии от оси Описанный случай не соответствует ортогональной системе координат, оси которой проходят через центры скоплений точек. Оси , хотя и проходят через центры тяжести, но не ортогональны друг другу.

Рис. 5.7. Косоугольная простая структура. Оси ортогональной системы координат не могут быть одновременно проведены через центры тяжести обоих скоплений точек

Аналогичная ситуация, но с изменением обозначений приведена еще раз на рис. 5.8.

Выше уже обсуждалась разница между первичными факторами и вторичными осями.

В случае ортогональной простой структуры, изображенной на рис. 5.6, этой разницы не существует. Иначе обстоит дело при косоугольной структуре. Координатные оси представляют собой первичные факторы.

При проецировании точек на эти оси на рис. 5.8, несмотря на косоугольную систему координат, использовались перпендикуляры. Как было показано на рис. 5.3, получаемые при этом проекции равны значениям коэффициентов корреляций между переменной и фактором, представляющим соответствующую ось. При проецировании точек с помощью линий, параллельных осям, получаем отрезки, равные факторным нагрузкам, величины которых могут превышать единицу. Оси проходят через центры тяжести скоплений точек. При проецировании точек на эти оси (на рисунке это обозначено точками) величины проекций вдоль одной оси мало отличаются друг от друга, даже если берутся точки из разных скоплений. Проекция точки на ось по величине практически равна проекции точки на ту же ось . Следовательно, обе группы переменных в системе координат плохо различаются по своим нагрузкам в противоположность тому, что было при ортогональной простой структуре. Вторичные оси позволяют провести разграничение переменных по нагрузкам. Проекции векторов, обозначенных на рисунке темными кружками, на ось относительно велики, в то же время проекции этих векторов на ось близки к нулю. Проецирование на оси показано пунктирными линиями.

Изменения величин проекций, т. е. увеличения различий между нагрузками, мы добились благодаря тому, что оси являются, перпендикулярами, восстановленными из нулевой точки к осям . С нагрузками, или проекциями переменных в системе координат можно далее так же легко оперировать, как и в случае ортогональной простой структуры, изображенной на рис. 5.6. На оси имеется ряд нулевых нагрузок, а именно от переменных, обозначенных светлыми кружками, и ряд довольно высоких нагрузок, а именно от переменных, обозначенных темными кружками. На основе этих нагрузок мы делаем заключение, что переменные, обозначенные темными кружками, имеют тенденцию приближения к оси а переменные, обозначенные светлыми кружками, — к оси

Рис. 5.8. Первичные факторы и вторичные оси. соответствуют исходному ортогональному факторному решению; являются вторичными осями, — гиперплоскостями, которые соответствуют первичным факторам. Проецирование на оси изображено точечными линиями, а на оси — пунктирными

Такого обоснованного вывода в системе координат сделать было нельзя. Предложение Тэрстоуна использовать для интерпретации вторичные оси наг шло большую поддержку у его сторонников. Для двумерной задачи получение вторичного факторного решения графическим методом сводится к проведению прямых (например, ) через начало координат как можно ближе к точкам, представляющим переменные; Перпендикуляры к этим «гиперплоскостям координат» принимаются за новые оси координат. Гиперплоскость является подпространством -мерного пространства. В двумерных задачах гиперплоскость имеет вид прямой. Гиперплоскости, перпендикулярные к оси или называются гиперплоскостями координат. Итак, на рис. 5.8 является одномерной гиперплоскостью координат относительно оси Осьопределяется в результате вращения. Ее положение обусловливается тем, что как можно больше точек должно лежать на соответствующей ей гиперплоскости координат или вблизи нее. Если такая гиперплоскость координат может быть найдена, то она определит соответствующий фактор.

Описанная концепция для двумерной задачи может быть перенесена на трехмерный случай,

На рис. 5.9 изображено трехмерное факторное пространство со случайной конфигурацией векторов. Шар, радиусом, равным единице, натянут на оси Этот шар можно представить себе в виде глобуса с ортогональной системой координат и центром, совпадающим с нулевой точкой. Отдельные векторы-переменные представлены на рисунке точками, лежащими на поверхности шара. Из всей конфигурации только три вектора проведены пунктирными линиями, соединяющими нулевую точку с тремя точками на поверхности шара. При конкретных исследованиях длина векторов не всегда будет равна единице, как это представлено на рис. 5.9. Длина вектора равна квадратному корню из общности соответствующей переменной. Для упрощения изображения на рис. 5.9 длина векторов была доведена до единицы. Данная конфигурация не может быть взята в качестве отправной точки для определения положения системы координат. Двумерная задача, представленная на рис. 5.5, является частным случаем трехмерного Факторного пространства.

Рис. 5.9. Трехмерное факторное пространство со случайной конфигурацией векторов

Плоскость, пересекающая шар и проходящая через его центр, является поверхностью, натянутой на оси Эта поверхность с проецированными на нее всеми точками и была изображена на рис. 5.5.

На рис. 5.10 представлена трехмерная ортогональная простая структура, аналог которой в двумерном случае был изображен на рис. 5.6. Переменные на рис. 5.10 изображены по-разному. Переменные лежащие вблизи осей представлены соответственно светлыми кружками, темными и треугольниками. Векторы остальных переменных изображены пунктирными стрелками. Естественно, все векторы имеют одинаковую длину, а различие в их обозначениях вызвано стремлением к графической наглядности.

Векторы-переменные не имеют такого же характера случайного рассеяния, как на рис. 5.9. У них обнаруживается определенная структура. Направления осей совпадают с тремя группировками переменных. Остальные точки-переменные лежат на окружностях, которые находятся на гиперплоскостях, проходящих через начало координат и содержащих соответствующие оси. Проекции точек, лежащих у конца вектора на ось по величине значительны, а на оси почти равны нулю. Проекции на ось точек, лежащих вблизи гиперплоскости, натянутой на почти равны нулю. То же самое можно сказать о проекциях точек, находящихся вблизи других гиперплоскостей, на соответствующие оси.

Такая конфигурация векторов встречается редко. В рассматриваемом случае однозначное положение трех осей определяется не только группировкой точек-переменных, но и их ортогональностью. Представим себе, что на рис. 5.10 отсутствует система координат, но точки на поверхности шара нанесены. Если теперь вводить систему координат, то это можно сделать бесконечным числом способов. Однако по сравнению со всеми другими возможными ее положениями, изображенная на рисунке система координат предпочтительна в том смысле, что она подчеркивает простоту конфигурации векторов. Если теперь систему координат повернуть в любой из трех плоскостей на какой-то угол, то удовлетворяющая определенным требованиям связь между системой координат и конфигурацией векторов нарушается, так как положение осей координат не будет больше определяться скоплением точек. Итак, расположение точек на поверхности шара используется для ориентации в пространстве осей координат.

Рис. 5.10. Ортогональная простая структура в трехмерном пространстве

Как уже отмечалось выше, большей частью скопления точек не располагаются ортогонально друг к другу. Такая ситуация в трехмерной задаче представлена на рис. 5.11 для экспериментальных данных, отличных от результатов, изображенных на рис. 5.9 и 5.10. Речь пойдет о косоугольной трехмерной простой структуре. Скопления точек на поверхности шара сосредоточены около но при этом они не образуют между собой прямого угла. Скопление точек вокруг по сравнению с рис. 5.10 сдвинуто вниз по поверхности шара, а скопления точек вокруг более выдвинуты на передний план. Если провести оси через центры тяжести этих трех скоплений точек, то они не будут ортогональны. Как видно из рис. 5.11, углы между осями будут острыми. Эти оси соответствуют первичным факторам. Как и в разобранной нами двумерной задаче, здесь все переменные имеют относительно высокие нагрузки. Рис. 5.8 можно рассматривать как результат пересечения шара плоскостью, проходящей через начало координат, причем соответствуют осям . Оси вторичные. Ось перпендикулярна к плоскости ось перпендикулярна к плоскости , а ось — к плоскости . Следовательно, плоскость является гиперплоскостью координат относительно . Все переменные, обозначенные точками, темными и светлыми кружками, которые лежат вблизи этой гиперплоскости или непосредственно на ней, имеют проекции на ось , практически равные нулю.

То же самое относится к осям и . В то время как система координат не позволяет разделить переменные по величине их проекций на оси, с помощью найденной нами системы эта задача легко решается.

Перейдем теперь от геометрических иллюстраций к более точной формулировке концепции простой структуры. Термин «простая структура» служит для характеристики взаимосвязи между конфигурацией векторов и осей координат внутри пространства общих факторов. Если конфигурация векторов, строго соответствующая определенной корреляционной матрице, позволяет путем вращения достигнуть такого состояния, что почти все или значительное большинство векторов-переменных окажутся на гиперплоскостях координат или вблизи них, то в этом случае говорят о простой структуре, предполагая, что этим вращением определено положение системы координат. При случайной конфигурации векторов однозначно определить положение системы координат невозможно.

Рис. 5.11. Косоугольная простая структура, полученная в результате первичного и вторичного решений. Объяснение дано в тексте

При реальных экспериментальных данных для нескольких факторов почти всегда могут быть найдены соответствующие гиперплоскости координат.

Простая структура не есть что-то мистическое, как это часто утверждают. Она либо присуща экспериментальным данным, являясь их органическим свойством, либо отсутствует. Корреляционная матрица однозначно определяет конфигурацию векторов в пространстве общих факторов. Если векторы плотнее прилегают к какой-нибудь одной гиперплоскости (см., например, рис. 5.11), то этот факт может быть использован для определения положения системы координат. Вращение с целью получения простой структуры не является произвольным процессом, благодаря которому можно самовольно объединять переменные в определенные группы. Вращение производится вслепую, т. е. исполнитель не знает, какая точка какой переменной соответствует. Он стремится найти такое расположение осей, чтобы наибольшее число переменных лежало в возможно более узкой зоне вокруг гиперплоскостей координат. Хотя, осуществляя вращение, добиваются наибольшей интерпретируемости факторов, но при этом не руководствуются предвзято никакой определенной гипотезой.

Конфигурация, присущая дайной корреляционной матрице, устанавливает предельные возможности достижения простой структуры. Цель вращения — перераспределить переменные на расположенные как можно дальше друг от друга группы, лежащие на гиперплоскостях координат, т. е. ортогональные к соответствующим факторам, и группы, характеризующиеся большими нагрузками факторов. На практике оправдала себя зона вокруг гиперплоскостей координат в ± 10%. Если факторная нагрузка переменной меньше ± 0,10, то эта переменная считается лежащей на гиперплоскости координат соответствующего фактора. Разумеется, можно изменить допустимую величину зоны, но чаще всего при исследованиях используют указанное значение. Чтобы определить факторное отображение, а именно установить, какие переменные в гиперплоскостях координат какого фактора лежат, следует лишь просмотреть матрицу, отмечая в ней элементы, меньшие 10,101. Как осуществляется процедура вращения до достижения простой структуры показывается в гл. 5.3. Выполнение процедуры весьма трудоемкая работа, требующая значительных затрат времени, а также определенного опыта. Несмотря на кажущуюся произвольность в осуществлении вращения, разные исследователи приходят к одним и тем же финальным результатам.

Определение простой структуры, которое было приведено выше, несколько отличается от первоначальной трактовки этого понятия Тэрстоуном. Тэрстоун [286, 6] выдвинул следующие требования, которым должна удовлетворять простая структура:

1. Каждая строка матрицы факторной структуры должна содержать хотя бы один нулевой элемент (т. е. каждая переменная должна лежать по крайней мере на одной гиперплоскости координат).

2. Каждый столбец матрицы факторной структуры должен содержать не менее нулей (т. е. каждый фактор в своей гиперплоскости координат должен определяться не менее чем переменными).

3. Для каждой пары столбцов матрицы факторной структуры найдется по крайней мере несколько переменных, которые от одного фактора имеют нулевую нагрузку, а от других факторов значительные нагрузки.

4. При числе факторов более четырех в каждой паре столбцов должно быть как можно больше переменных с нулевыми нагрузками в обоих столбцах.

5. Для каждой пары столбцов матрицы факторного отображения должно быть как можно меньше переменных со значительными нагрузками в обоих столбцах.

Приведенное выше определение соответствует этим требованиям, но оно компактнее и пригодно для графического способа осуществления вращения при поиске простой структуры, а также может облегчить понимание процедуры, описанной в гл. 5.3. Формулировка понятия простой структуры, аналогичная указанной нами, имеется у Баргмана 112; 2]. В работе Баргмана речь идет о процедуре поиска простой структуры, состоящей из отдельных этапов, по матрице, которая рассматривается с позиции понятий частной корреляции. Матрица разбивается на отдельные подматрицы с рангом, равным единице.

На каждом этапе определяется группа переменных, сосредоточенных вокруг одного фактора, при исключении влияния всех других переменных, по каждой подматрице с рангом, равным единице. Определение таких групп переменных сводится к нахождению гиперплоскостей размерностью (), т. е. гиперплоскостей координат, определение которых было дано выше. Подход к поиску простой структуры, предложенной Баргманом, геометрически трудно интерпретировать, поэтому мы не будем на нем останавливаться подробно.

При многомерном факторном решении в каждом столбце матрицы факторного отображения всегда найдется несколько нагрузок, практически равных нулю. Отсюда возникает вопрос: как много нужно иметь нулевых нагрузок, чтобы считать найденную гиперплоскость значимой?

Рис. 5.12. Иллюстрация к тесту Баргмана. Предполагается равномерное распределение переменных по всей площади круга. В этом случае вероятность того, что вектор длиной h попадет в зону вокруг гиперплоскости численно равна отношению площади заштрихованных сегментов ко всей площади круга. Длина дуги, отмеченной жирной линией, равна

Вопрос о значимости гиперплоскостей был впервые поднят Баргманом [12, 1, 2], который в связи с этим предложил критерий значимости простой структуры. Кратко изложим принцип построения этого теста для двумерной задачи с иллюстрацией на рис. 5.12.

На рис. 5.12 в системе координат изображены несколько переменных. Принцип простой структуры требует, чтобы была найдена такая система координат, в которой как можно больше переменных давало на новые оси очень маленькие проекции. Относительно оси это утверждение является справедливым, так как проекции на эту ось векторов практически равны нулю. В зоне а вокруг являющейся гиперплоскостью относительно группируются четыре переменные. Величина зоны не превышает ±0,10. Эта величина зоны уже молчаливо признана исследователями допустимой. Гиперплоскость определяет положение оси .

Нулевая гипотеза заключается в равномерном распределении векторов по всей площади круга. Вначале рассмотрим только вектор длиной h. Определим вероятность того, что этот вектор будет лежать внутри указанной зоны вокруг гиперплоскости. Как упоминалось, ограничимся двумерной задачей. С помощью геометрического представления, эту вероятность можно вычислить как отношение двух заштрихованных секторов к площади всего круга или как отношение соответствующих дуг окружностей.

Так как вектор может отражаться, нужно учитывать обе дуги, которые соответствуют заштрихованным секторам. Длина дуги, проведенной на рис. 5.12 жирной чертой, равна . Тогда искомая вероятность равна:

(5.12)

Вероятность того, что вектор будет лежать в определенной зоне, зависит от его длины Л и ширины этой зоны а. Для трехмерного и «-мерного пространства формула приобретает более сложный вид, и поэтому мы ее здесь не рассматриваем. Баргман для различного числа факторов (до 16 факторов) рассчитал вероятности того, что вектор, длина которого равна единице, попадет в зону шириной 0,20, и указал общую формулу для расчета. Но при проверке достижения простой структуры установление критических значений только для одного вектора явно недостаточно, Вероятность того, что k векторов при факторах будут лежать внутри указанной критической зоны, можно вычислить с помощью биномиальной формулы. При этом следует учитывать, что гиперплоскость размерностью не может быть полностью определена лишь в том случае, если она проходит через точек. Итак, после согласования вопроса о величине критической зоны переходят к рассмотрению конфигурации векторов.

На практике при оценке достижения простой структуры пользуются таблицами, составленными Баргманом (три из них приведены в приложении Г). При этом исходят из того, что для каждого фактора I подсчитывают число переменных, для которых выполняется условие . Это число, называемое числом нулевых нагрузок ihyperplane count), сравнивают с табличным, соответствующим опрег деленному числу факторов. При данном числе переменных непосредственно из таблицы можно узнать, сколько нулевых нагрузок следует ожидать на уровнях значимости 0,25; 0,05 и 0,01. Если полученное в результате вращения число нулевых нагрузок больше указанного в таблице, например на уровне значимости 0,01, то можно считать, что этот фактор достаточно определен переменными и его можно интерпретировать. Таблица в приложении включает до двенадцати факторов, что вполне достаточно для задач, решаемых на практике. Если же число выделенных факторов превышает 12, то соответствующие расчеты можно провести по специальной формуле, предложенной Баргманом. Примеры с использованием критерия приведены на с. 202, 207 и 221.

Критерий Баргмана не совсем точный. Он дает лишь приблизительную оценку и имеет, скорее, эмпирический, чем строго математический характер. Это связано с тем, что при вычислении вероятности учитывается общность. Но здесь хотелось бы еще раз подчеркнуть, что простая структура не является чисто субъективным понятием, как это часто утверждают.

Она отражает свойство, органически присущее экспериментальным данным. Поиск простой структуры часто является длительным процессом, осуществляемым методом проб и ошибок. Но это вовсе не означает, что простая структура не является объективным понятием. Недостаточно обосновано также утверждение, что принятие решения об угле поворота системы координат является субъективным даже в случае удачного финального решения. В качестве возражения можно указать на аналогию между процедурой вращения при поиске простой структуры с использованием критерия Баргмана и определением главных компонент с применением теста проверки их значимости. Обе процедуры близки по смыслу. Конечно, результат определения простой структуры не отличается такой однозначностью, как результат определения главных осей. Критерий Баргмана может также показать, что процедура вращения не доведена до конца или выполнена недобросовестно. Но если достигнутая в результате вращения простая структура удовлетворила критерию значимости, то это не следует рассматривать как случайный и сомнительный результат, полученный в итоге каких-то преднамеренных усилий. С помощью теста Баргмана контролируется также взаимное расположение переменных, а именно проверяется гипотеза о такой конфигурации векторов, что они лежат друг к другу плотнее, чем это было бы возможно при случайном их расположении в пространстве. Далее можно переходить к предварительной интерпретации факторов, весьма отдаленной пока от причинного характера связей.