2.3.3. Геометрическая интерпретация выделения факторов и метод вращения

На схеме рис. 2.6 были указаны важнейшие матрицы и основные проблемы, возникающие в процессе факторного анализа. Мы также познакомились с геометрической интерпретацией матрицы исходных данных Y, с интерпретацией матрицы А в виде пространства общих факторов и матрицы F — в виде полного факторного пространства. Предоставим читателю возможность самому геометрически проиллюстрировать остальные матрицы схемы рис. 2.6. Если посмотреть на начало и конец схемы проведения факторного анализа, а именно на матрицы Y и Р, то становится очевидным упрощение, которое достигается этим методом. Матрица Y имеет размер , а Р — размер т. е. переменных, измеренные у n индивидуумов, сводятся к факторам. Сокращение размерности происходит не непосредственно на матрице Y, а между и А. Решение проблемы факторов геометрически соответствует уменьшению размерности.

Корреляционная матрица числового примера, приведенного для наглядности, имеет порядок, равный шести, т. е. шесть переменных обусловливают размер матрицы R. При этом каждой строке матрицы R в пространстве соответствует точка. Это -мерное пространство графически изобразить невозможно. Соответствующая матрица А (см. рис. 2.10) имеет порядок, равный что дает возможность представить шесть переменных в двумерном пространстве. Этот переход от -мерной корреляционной матрицы к двумерному пространству общих факторов осуществляется путем выделения факторов. Целью этого процесса является установление пространства минимальной размерности, в котором бы содержались все переменные.

Как этого можно достигнуть в частных случаях и насколько решения являются адекватными, обсуждается в разделе 3. Нас здесь интересует только тот факт, что выделение факторов геометрически означает отыскание пространства наименьшей размерности, которая [еще допускает содержание в этом пространстве всех переменных и также проецирование переменных в этом -мерном пространстве общих факторов. В алгебраических терминах решение факторной проблемы означает нахождение ранга корреляционной матрицы. В геометрическом плане эта проблема состоит в отыскании путей перехода от высокоразмерного пространства к низкоразмерному с минимально возможной потерей информативности. Верхней границей для является число переменных т. При переходе от к часть информации, конечно, теряется, но с этим приходится мириться ради сокращения набора переменных и упрощения модели. При применении некоторых способов выделения факторов понижение размерности происходит чисто вычислительным путем без учета статистических концепций. Благодаря выделению факторов способом, который еще подлежит подробному обсуждению, обязательно определяется размерность пространства, в котором должны быть представлены наблюдаемые переменные. В геометрических терминах это означает определение координатных осей в пространстве общих факторов.

Другой проблемой факторного анализа является так называемая проблема вращения, которая также имеет геометрическое истолкование. Двумерное пространство общих факторов по данным числового примера еще раз представлено на рис. 2.11, Л (см. табл. 2.4 и рис. 2.10). Векторы на рис. 2.11 соответствуют переменным. Расположение векторов по отношению друг к другу строго определено, углы между ними соответствуют элементам корреляционной матрицы в табл. 2.3. Тэрстоун называет представление переменных в пространстве общих факторов в виде совокупности векторов конфигурацией. На рис. 2.11 отдельно изображена конфигурация шести переменных. Конфигурацию можно представлять себе независимо от системы координат, хотя при этом всегда подразумевается конкретная система координат, даже если ее не вычерчивают (на рис. 2.11, В переменные представлены в двумерной системе координат, но координатные оси отсутствуют). Связь между конфигурацией и системой координат не определяется условием, что векторы-переменные должны воспроизводить корреляционную матрицу. Можно себе представить, что конфигурация векторов на рис. 2.11, вращается вокруг своей начальной точки так же, как колесо со спицами вращается вокруг своей оси, а система координат при этом занимает фиксированное положение. Можно также представить себе, что поворачивается система координат, а конфигурация векторов занимает фиксированное положение. Одно из бесконечно многих возможных положений конфигураций векторов относительно системы координат представлено на рис. 2.11, Б. Все эти возможные положения конфигурации векторов относительно системы координат одинаково хорошо воспроизводят корреляционную матрицу; углы между векторами каждый раз остаются теми же самыми. Проблема факторов не имеет однозначного решения, более того, имеется целое семейство равнозначных решений.

Из этого бесконечно большого числа возможных решений, которые геометрически представляются в виде различных положений конфигурации векторов относительно системы координат, должно быть выбрано одно. Такой способ получения решения называется вращением, так как геометрически эта процедура выполняется путем вращения конфигурации векторов вокруг своей начальной точки.

На рис. 2.11 представлено вращение в двумерной задаче. Вычислительные операции приводятся в гл. 5.1. Если же пространство общих факторов имеет размерность более трех, то вращение можно наглядно представить на нескольких плоскостях, т. е. все двумерных представления переменных выполняются с двумя факторами.

Рис. 2.11. А-В. Вращение. А—положение системы координат, обеспечивающее наиболее простое соотношение между переменными и факторами; Б — одно из возможных положений конфигурации векторов относительно системы координат; В — конфигурация векторов без системы координат

Применение метода вращения вызывает ряд других проблем, например выбор координатных осей при косоугольных факторах или вопрос альтернативного представления систем координат, ортогональных по отношению друг к другу, на которых позднее мы остановимся более подробно. Для начала достаточно добиться понимания способа вращения, его возможностей и роли в получении решения. Метод вращения необходим в силу того, что проблема факторов не имеет однозначного решения при решении ее алгебраическим путем. Как добиваются однозначного решения с помощью метода вращения, будет показано дальше. Сейчас мы пока только укажем на эту возможность.

Из рис. 2.11 видно, что положение конфигурации векторов в системе координат на диаграмме А «проще», чем на диаграмме Б. Стрелки на диаграмме А лежат близко к координатным осям. Интуитивно можно было бы предпочесть это решение. Оба фактора, или обе координатные оси на рис. 2.11, А, могли бы быть отождествлены с двумя пучками переменных и интерпретированы ими. По рис. 2.11, Б такая интерпретация невозможна. При вращении конфигурации векторов принимают бесчисленное множество положений относительно системы координат. Из этих положений должно быть выбрано одно, при котором достигается возможно более простое расположение векторов-переменных по отношению к координатным осям. Это еще будет подробно обсуждаться.