3.3.3. Критерий значимости в компонентном анализе

Собственные значения корреляционной матрицы, образованной из случайных чисел, располагаются на графике приблизительно по прямой (см. рис. 3.12 и 3.13). С помощью формулы (3.23) проверяется гипотеза, — значимо ли отличаются друг от друга главные компоненты матрицы R. Такой проверке подвергаются обычно исходные корреляционные матрицы. В компонентном анализе, после того как выделены главных компонент, возникает вопрос, значимо ли различаются между собой оставшиеся компоненты. Если рассматривать график рис. 3.13 слева направо, то видно, с какого момента оставшиеся собственные значения практически не отличаются друг от друга. Для подтверждения этого можно применить критерий, предложенный Бартлетом [15; 3]. Критерий разработан для проверки гипотезы о том, что истинные величины собственных значений, оставшиеся после выделения главных компонент, равны между собой. Критерий вычисляется по формуле

и имеет приближенно распределение степенями свободы. Эта формула аналогична формуле (3.23), причем величина вычисляется следующим образом:

Рао [230; 3] и Лоули [182; 1, 3] отмечают, что в предельном случае критерий (3.26) не имеет точного распределения . Лоули и Максвелл [183] предложили для улучшения приближения к -распределению критерий по проверке оставшихся собственных значений ковариационной матрицы вычислять по формуле

причем

С ковариационная матрица,

Число степеней свободы берется равным .

Применение этого критерия предполагает знание собственных значений ковариационной матрицы, а не корреляционной, из которой исходят обычно в факторном анализе. Рао [230; 3] разработал критерий Для корреляционной матрицы генеральной совокупности, но для выборочных значений он не совеем пригоден.

Пиллаи [225] предложил другую аппроксимацию критерия для самого большого по величине собственного значения ковариационной матрицы и опубликовал соответствующие таблицы.

Главные компоненты имеют произвольный характер и представляют собой линейную комбинацию наблюдаемых переменных. Критерий значимости главных компонент, вычисляемый по формуле (3.23), интересен прежде всего тем, что по нему проверяется значимость всей корреляционной матрицы. Реже интересуются вопросом, с какого момента оставшиеся главные компоненты значимо различаются между собой. Этот вопрос обычно ставится тогда, когда выделена первая линейная комбинация случайных величин, имевшая максимально возможную дисперсию, и удовлетворяются воспроизведением полной дисперсии переменных по возможности небольшим числом компонентов, допуская возможность незначительных остатков.