5. ПРОБЛЕМА ВРАЩЕНИЯ

Возможность и необходимость вращения были наглядно продемонстрированы в параграфе (2.3.3). Вращение системы координат и изменение факторных нагрузок необходимы, так как процедура выделения факторов имеет не однозначное решение, а бесконечно много эквивалентных решений, которые все одинаково хорошо удовлетворяют равенству . Лишь благодаря введению ограничений, которые однозначно устанавливают положение системы координат, проблема факторов становится численно разрешима. Например, при проведении анализа главных факторов система координат приводится в фиксированное положение, обусловленное дополнительными условиями. Оси, соответствующие факторам, ортогональны, и их направления устанавливаются последовательно, по максимуму оставшейся дисперсии. Но полученные таким образом координатные оси большей частью содержательно не интерпретируются. Поэтому в пространстве общих факторов отыскивают другое, предпочтительное положение системы координат путем вращения системы вокруг ее начала, представляющего собой в то же время нулевую точку конфигурации векторов. Конфигурация векторов представляет собой неизменный элемент.

Целью вращения в принципе является нахождение нами в пространстве общих факторов одной из возможных систем координат, которая должна быть наложена на конфигурацию векторов для получения факторной структуры. Конфигурация — это система векторов, соотношения между которыми остаются постоянными. Чтобы вообще можно было изобразить конфигурацию векторов, при выделении факторов должна быть выбрана определенная система координат. В проблеме вращения речь идет о выборе одной из многих возможных систем координат в пространстве общих факторов. В этом случае решающая роль принадлежит критериям вращения, которые позволяют оставить одно, с определенной точки зрения оптимальное, положение системы координат для изображения конфигурации.

В алгебраических терминах проблему вращения можно сформулировать следующим образом. Пусть задано ортогональное факторное решение . Тогда существует бесконечно много А, которые можно соответствующим путем преобразовать друг в друга и в А.

При осуществлении вращения необходимо найти матрицу преобразования Т, которая переводит матрицу А в , причем для должны выполняться определенные условия, и она должна удовлетворять определенным критериям.

Если четко сформулировать эти условия и критерии, то можно получить однозначное аналитическое решение. В гл. 3.6 при обсуждении вопроса эквивалентности различных методов выделения факторов проблема заключалась в нахождении матрицы преобразования, удовлетворяющей равенству 3.37, причем А и задавались. Найти такую матрицу не составляет большого труда. Значительно сложнее определить матрицу преобразования Т при решении проблемы вращения, так как при этом известна лишь матрица А, а сведения об заменяются некоторыми требованиями о наилучшем положении системы координат.

Проблему вращения можно сформулировать в геометрических и алгебраических терминах, в соответствии с чем образовались два подхода к ее решению. Первый из них связан с графическим изображением осей, которые проводятся через облака (скопления) точек. Второй подход, не имеющий наглядного представления, связан с аналитическими методами. Аналитические методы вращения требуют большого объема вычислительных работ, поэтому для них разработаны программы на ЭВМ. Следует - заметить, что не всегда выполнение вычислительных процедур на быстродействующих ЭВМ приводит к лучшему результату, чем так называемое субъективное решение задачи вращения вручную с использованием геометрических представлений. В связи с этим оба подхода полезно комбинировать.

Далее вначале формально показываются возможности выполнения вращения. В гл. 5.1 обсуждаются общие вопросы проблемы вращения в пространстве общих факторов при получении ортогонального и косоугольного решений. Основная трудность состоит в выборе критериев, которыми надо руководствоваться при выполнении вращения. Особую роль при этом играет концепция простой структуры, которая обсуждается в гл. 5.2. Как практически осуществляется вращение системы координат при поиске простой структуры, показано в гл. 5.3. Описание матриц, появляющихся при решении проблемы вращения, и их взаимосвязь приведена в гл. 5.4. Так как вычислительная процедура вращения состоит из нескольких циклов с переменным числом повторений, то ее осуществление вручную связано с многочисленными графическими изображениями и перемножением матриц. Выполнять соответствующие вычисления, приводящие к определению нового положения системы и новых проекций, довольно затруднительно. Поэтому вынуждены были разрабатывать аналитические критерии вращения, которые делали бы возможным решение проблемы на ЭВМ за один прогон соответствующей программы. Эти критерии представлены в гл. 5.5. В примере, приведенном в гл. 5.6, еще раз описывается процедура, рекомендуемая для выполнения вращения. Кроме концепции простой структуры в литературе приводятся другие критерии вращения, но они не нашли широкого применения. Эти критерии рассматриваются в гл. 5.7. Благодаря введению косоугольных факторов оказалось возможным определение факторов второго и более высокого порядка. Этому вопросу посвящена гл. 5.8. Обсуждение проблемы вращения заканчивается в гл. 5.9 обобщающими замечаниями.