Бесконечная циклическая группа.

Теперь мы построим граф бесконечной циклической группы. Циклическая группа определялась тем свойством, что все ее элементы можно выразить как степени одного образующего элемента а. Группа, порожденная элементом а, конечна, если существует положительное целое число я, такое, что . Если такого положительного целого числа не существует, то каждая следующая степень элемента а представляет собой новый элемент группы, и в таком случае циклическая группа будет бесконечной. Бесконечная аддитивная группа (стр. 25) представляет собой пример такой группы.

Конечную циклическую группу можно связать с самосовмещениями правильного -угольника на плоскости и прийти к соответствующей диаграмме Кэли. Чтобы построить граф бесконечной циклической группы, нам также будет удобно опираться на некоторое геометрическое представление.

Рассмотрим прямую линию, разделенную на равные интервалы, скажем, длины 1, и ее самосовмещения, которые сдвигают эту линию вдоль самой себя на одну или несколько единиц вправо или влево. Множество всех таких самосовмещений есть бесконечная циклическая группа, порожденная сдвигом на единицу вправо. Диаграмма Кэли этой группы представлена на рис. 6.6.

Рис. 6.6.

Примечания. 1) Естественным образом обобщив наши предыдущие обозначения, мы обозначим бесконечную циклическую группу через .

2) Ясно, что за можно взять любую вершину.

3) Снова мы видим, что в каждой вершине сходятся два направленных отрезка. Движение от вершины вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующую а; движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на

Упражнение 8. Выяснить, является ли сложение бинарной операцией на каждом из следующих множеств и, если да, то будет ли это множество бесконечной циклической группой с бинарной операцией сложения.

(a) Множество всех целых чисел, кратных 4, т. е. множество

(b) Множество всех целых чисел, кратных целому числу .

(c) Множество , где а — нецелое число.

(d) Множество , где а — нецелое число.