Гомоморфизм.

Перейдем теперь к рассмотрению отображений специального типа, играющих в теории групп большую роль. Нас будут интересовать отображения, называемые гомоморфизмами, и их частный вид — изоморфизмы. Понятия, связанные с этими отображениями, важны для изучения свойств не только групп, но и других алгебраических систем. Слова «гомоморфизм» и «изоморфизм» однокоренные. Корень «морф» (что по-гречески означает «форма») указывает на их связь со структурой.

Прежде чем дать строгое определение, рассмотрим пример гомоморфного отображения аддитивной группы N целых чисел на аддитивную группу В четных чисел (стр. 111). Это отображение М ставит в соответствие каждому элементу n группы N элемент принадлежащий Е,

Заметим, что любые два элемента группы N при этом переходят в элементы соответственно, а их сумма — в элемент , т. е. образ суммы элементов равный есть сумма образов этих элементов.

Советуем читателю запомнить это отображение М как конкретный пример гомоморфизма одной группы на другую.

Пусть теперь даны две группы G и H и отображение группы G на группу . Это означает, что каждый элемент группы является образом некоторого элемента группы G. Обозначим образы элементов а и b группы G через соответственно. Тогда и -элементы группы H. Так как G и H — группы, то произведения принадлежа r группам G и H соответственно.

Характеристическое свойство гомоморфного отображения, или гомоморфизма, группы G на группу H заключается в том, что для любых двух элементов а и b группы G их произведение переходит в элемент группы H, т. е. образ произведения двух элементов равен произведению их образов:

В рассмотренном выше примере гомоморфизма группы N на группу Е (групповой операцией в обеих группах было сложение) выполняется равенство

Нужно ясно представлять себе, что, вообще говоря, каждая из групп G и имеет свою собственную единицу, бинарную операцию и т. д. Поэтому

является сокращенной записью следующего утверждения. Пусть символ обозначает бинарную операцию в группе G, символ — бинарную операцию в группе H, a f — гомоморфное отображение группы G в группу H; тогда для любых элементов а и b группы

В дальнейшем мы не будем пользоваться этой сложной формой записи, за исключением случаев, когда отказ от нее затрудняет понимание, и будем, как правило, писать

В то время как при произвольном отображении устанавливается соответствие между отдельно взятыми элементами двух множеств, при гомоморфном отображении принимаются во внимание также бинарные операции в обеих группах и устанавливается соответствие как между отдельными элементами, так и между произведениями элементов.

Чтобы получить еще один пример гомоморфизма, рассмотрим следующее отображение циклической группы (с образующей а) на циклическую группу (с образующей b):

Отметим, что единицу группы мы обозначили через чтобы отличить ее от единицы группы Ранее мы уже обращали внимание на то, что и бинарные операции в двух связанных гомоморфизмом группах различны. Мы надеемся, что в дальнейшем читатель будет помнить об этих различиях, даже если это никак не отражается в обозначениях.

Пользуясь таблицей умножения группы можно проверить, что f переводит каждое произведение элементов группы в произведение образов этих элементов в группе , так что

где r, s — любые два элемента группы . В таблице умножения группы (табл. 9.1) указаны все произведения элементов группы и (прямо под ними) их образы в группе Отметим, что таблица образов всех произведений элементов группы представляет собой четырежды повторенную таблицу умножения группы

Гомоморфное отображение обнаруживает сходство структур групп . На самом деле именно благодаря наличию этого сходства и существует такое отображение. Если мы попытаемся построить гомоморфизм, например группы на группу , то столкнемся с непреодолимыми трудностями, причина которых заключается в отсутствии необходимого для существования гомоморфизма сходства структур этих групп.

Таблица 9.1

Упражнение 37. Докажите, что если отображение группы G на группу H не переводит единичный элемент группы G в единичный элемент группы H, то оно не гомоморфно, или, напротив, если f - гомоморфное отображение группы G на группу H, то

Упражнение 38. Пусть f — гомоморфизм группы G на группу H. Покажите, что если — обратный к х элемент, то

т. е. при гомоморфизме образ обратного элемента есть элемент, обратный к образу.

Упражнение 39. Пусть группа G гомоморфно отображается (с помощью гомоморфизма ) на группу H, и пусть для некоторых двух элементов х и у группы G. Покажите, что

Упражнение 40. Пусть f — гомоморфизм одной группы на другую. Докажите, что