Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Строение таблицы умножения группы.Теперь мы ближе познакомимся с внутренним строением таблицы умножения группы. Прежде всего мы исследуем «совпадение», отмеченное выше в п. (4), а именно тот факт, что строки и столбцы таблицы умножения группы являются перестановками верхней строки и левого столбца соответственно. Мы покажем, что это совсем не случайное совпадение, а скорее характеристическое свойство таблицы умножения произвольной группы. После того как это будет сделано, мы станем рассматривать таблицу умножения группы как квадратную таблицу, которая образована расположенными в определенном порядке символами. В этой таблице мы будем выявлять взаимное расположение (конфигурации) символов и показывать, как оно отражает групповые связи. Таким путем структура группы будет выражена через «геометрические» свойства ее таблицы умножения. Можно показать, что и, обратно, квадратная таблица с такими «геометрическими» свойствами является таблицей умножения некоторой группы. «Разрешимость» групповых «уравнений». Когда мы имеем дело с элементами группы и соотношениями между ними, то часто бывает необходимо уметь отвечать на следующий вопрос: существует ли для заданных элементов а и b в некоторой группе элемент
т.е. Возможны ли другие решения этого уравнения? Мы ответим на этот вопрос, показав, что если у есть решение уравнения Сначала предположим, что существует элемент у нашей группы, для которого Можно умножить каждую часть уравнения
Следовательно,
или
Так как мы уже проверили подстановкой, что элемент
где а и b — элементы группы, может быть получено аналогично. Умножая справа на
Сформулируем наш способ решения как «правило»: чтобы «решить» уравнение Упражнение 5. Найти
В качестве первого приложения предыдущих результатов докажем одно соотношение между элементами группы и их обратными, которое будет полезно в дальнейшем. Предположим, что мы рассматриваем элемент группы, который представлен как произведение других элементов группы. Пусть, например,
Вопрос таков: как можно представить элемент
Затем умножим его слева на
Чтобы убедиться в справедливости равенства
Аналогично, если В качестве еще одного приложения процедуры решения групповых уравнений докажем теорему, которая объясняет, почему любая строка (столбец) таблицы умножения группы является перестановкой элементов любой другой строки (столбца). Предположим, что мы рассматриваем группу порядка
умножая элементы слева на b. Мы утверждаем, что эти произведения дают
Но Мы доказали наше утверждение для умножения слева. Аналогичные соображения можно применить к множеству произведений, получающихся умножением элементов группы на фиксированный элемент справа, и это завершит доказательство следующей теоремы о конечных группах: Теорема 1. Если
содержит все элементы группы, возможно, в другом порядке (а именно всякий раз, когда Эта теорема окончательно убеждает нас в том, что любая групповая таблица умножения состоит из строк и столбцов, которые являются перестановками строки, стоящей над таблицей, и столбца, стоящего слева от таблицы, соответственно. Соображения, которые мы сейчас изложим, преследуют цель показать, с одной стороны, что групповые аксиомы и их следствия налагают определенные требования на взаимное расположение элементов в таблице умножения и, с другой стороны, что квадратная таблица «такого образца» является таблицей умножения некоторой группы. Эти частные рассуждения стоят несколько в стороне от основной линии изложения, так что не беда, если это короткое отступление и не будет полностью усвоено при первом чтении. Предположим, что задано множество символов, образующих квадратную таблицу, которая является таблицей умножения некоторой группы. Тогда таблица обладает следующими пятью свойствами. (Читатель может обратиться к таблице умножения группы порядка 6 на стр. 48, чтобы проследить эти свойства на конкретном примере.) (1) Таблица содержит в точности столько различных символов, сколько у нее строк (столбцов); таким образом, если квадратная таблица имеет n строк и n столбцов, то среди (2) Каждая строка и каждый столбец содержат каждый символ в точности один раз. Это в сущности утверждение теоремы 1. (3) Предположим, что символы, представляющие все различные элементы некоторой группы, расположены в произвольном, но фиксированном порядке и что строки и столбцы групповой таблицы умножения помечены согласно этому упорядочению. Например, пусть мы имеем упорядоченные символы Таблица 4.8
(4) Групповая аксиома об обратных элементах определяет такое свойство квадратной таблицы: каждый символ таблицы можно связать с другим символом так, что на пересечении строки, помеченной первым из этих символов, скажем (5) Закон ассоциативности соответствует следующему свойству квадратной таблицы, являющейся таблицей умножения некоторой группы. Предположим, что мы так выбрали внутри таблицы два произвольных символа Таблица 4.9
Таблица 4.10
Над столбцом, содержащим символ r, стоит некоторый элемент группы, скажем у. Строка, содержащая символ
т. е.
Таким образом, таблица умножения должна включать такую конфигурацию:
Упражнение 6. Пусть задана квадратная таблица, которая является таблицей умножения некоторой группы. Какой элемент должен стоять в четвертой (с вопросительным знаком) вершине каждого из следующих «прямоугольников» внутри таблицы:
Чтобы завершить обсуждение свойств таблицы умножения группы, мы вернемся к вопросам, поднятым в начале этой главы. Сколько информационных символов требуется, чтобы задать группу как единый математический объект? И как можно записать эту информацию? Вот ответы на эти вопросы: для конечной группы порядка Упражнение 7. Построить таблицу умножения группы с элементами 1, 2, 3, 4 и бинарной операцией «умножение по модулю 5» (см. стр. 36, где разбиралась эта группа остатков).
|
1 |
Оглавление
|