Факторгруппа.

Эварист Галуа первым показал, что смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К образуют группу. Эту группу мы назвали факторгруппой . В ходе ее изучения нам придется приспособиться к новому для нас факту, а именно что элементами данной группы являются множества элементов другой группы.

Прежде чем мы сможем на каком-либо примере проверить замечательный результат Галуа, необходимо определить на множестве смежных классов группы G по нормальной подгруппе К бинарную операцию. Определим произведение двух смежных классов (в таком порядке) как множество всех произведений вида (в таком порядке), где — элемент множества R, а — элемент множества . Таким образом, произведение R - S двух смежных классов есть множество, состоящее из всех произведений элементов группы, первые сомножители которых принадлежат смежному классу R и вторые — смежному классу 5 (это множество легко найти по таблице умножения). Читателю следует доказать, что если R и — смежные классы группы G по ее нормальной подгруппе К, то также будет смежным классом группы G по подгруппе К, т. е. взятие произведения является бинарной операцией на множестве смежных классов группы G по подгруппе К.

Поясним это определение, используя ранее найденные смежные классы группы диэдра по нормальной подгруппе К, циклической группе порядка 3 (стр. 164):

Образуем, согласно нашему определению, произведение . В результате мы получим множество элементов, которые составляют таблицу умножения 11.1. Это множество совпадает, очевидно, с таким образом, Множество элементов, из которых состоит произведение составляет таблицу умножения 11.2. Читателю следует проверить, используя в качестве удобной формы таблицы умножения граф группы что это множество, состоящее из девяти произведений, совпадает со смежным классом , т. е. Аналогично можно проверить, что и

Таким образом, произведение любых двух смежных классов — снова смежный класс, а К — единичный элемент.

Таблица 11.1

Таблица 11.2

Таблица умножения 11.3 для смежных классов К и суммирует полученные результаты. Она показывает, что эти смежные классы образуют циклическую группу порядка 2 и что смежный класс К является ее единицей.

Таблица 11.3

Эта группа смежных классов называется факторгруппой группы по нормальной подгруппе К. Читателю следует проверить, что отображение определенное формулой

есть гомоморфное отображение группы на группу (Покажите, что )

Название «факторгруппа» и обозначение объясняются аналогией между разложением группы в объединение смежных классов

и факторизацией чисел, т. е. их разложением в произведение двух сомножителей, так что мы «как бы» имеем

Вообще если группа L представлена как объединение

смежных классов по нормальной подгруппе то эти классы образуют факторгруппу, обозначаемую через Эта факторгруппа однозначно определяется двумя группами: L и

Упражнение 56. Образуйте произведение двух подгрупп R и S группы G так же, как это делается для смежных классов. Покажите, что

(a) множество является подгруппой тогда и только тогда, когда

(b) если одна из подгрупп R или S нормальна, то является подгруппой.

Групповые соотношения и факторгруппы. Выразим некоторые из полученных результатов о нормальных подгруппах, гомоморфных отображениях и факторгруппах с помощью групповых соотношений и графов групп.

На рис. 11.4 изображен граф группы диэдра Факторгруппа содержит всего два элемента

в то время как группа содержит шесть элементов, представленных в виде вершин ее графа.

Если мы к определяющим соотношениям группы присоединим соотношение

элементы в смежных классах К и примут вид

т. е. мы добились не только того, что все элементы подгруппы К превратились в элемент но и того, что все элементы смежного класса ЬК превратились в элемент b.

Рис. 11.4

Иными словами, дополнительное соотношение склеивает все элементы подгруппы К в единственный элемент а все элементы смежного класса — в единственный элемент b. Так как , то добавление соотношения приводит нас к циклической группе порядка 2, т. е. группе, изоморфной группе Таким образом, ввести дополнительное соотношение — это все равно, что гомоморфно отобразить группу на так, чтобы в единицу факторгруппы перешли в точности элементы подгруппы К.

Можно считать, что введение соотношения приводит к такой деформации графа, при которой вершины, соответствующие элементам подгруппы сливаются с вершиной, соответствующей элементу Такой процесс можно представлять себе как «стягивание» в точку образующей а, и это легче всего сделать, если сначала придать графу трехмерную форму, а затем «стянуть» все -отрезки в точку.

Постепенная деформация изображена (слева направо) на рис. 11.5. Видно, что присоединение соотношения (т. е. обращение подгруппы К в единицу группы ) превращает граф в утроенный граф циклической группы порядка 2, у которого одна вершина соответствует смежному классу а другая — смежному классу .

Рис. 11.5.

Итак, с помощью деформации графа группы мы приходим к графическому представлению факторгруппы изображенному на рис. 11.6.

Рис. 11.6.

Посмотрим, в какой мере эти результаты справедливы для бесконечных групп. Рассмотрим аддитивную циклическую группу N всех целых чисел и возьмем в качестве ее нормальной подгруппы множество Е всех четных чисел. Представим группу N в виде объединения смежных классов по нормальной подгруппе Е, т. е.

см. стр. 118. (Можно не сомневаться, что Е — нормальная подгруппа группы N, поскольку каждая подгруппа абелевой, или коммутативной, группы нормальна.) Смежный класс совпадает с множеством О всех нечетных чисел и, следовательно,

Образуют ли смежные классы Е и О группу? Нам нужно убедиться в том, что каждое из произведений

есть либо смежный класс Е, либо смежный класс О и что выполняются аксиомы группы. Вспомним, что бинарная операция группы N — это сложение. Тогда

Таблица 11.4 — это таблица умножения для смежных классов Е и О. Таким образом, у факторгруппы такая же таблица умножения, как у циклической группы порядка 2 (Е играет роль единицы). В гл. 8 мы видели, что бесконечная циклическая группа не имеет конечных подгрупп; теперь мы видим, что конечная группа может быть ее факторгруппой.

Таблица 11.4

Построим теперь факторгруппу с помощью графа группы N (рис. 11.7), следуя схеме, использованной в предыдущем примере, и найдем дополнительно соотношение, эквивалентное обращению нормальной подгруппы Е в единицу.

Если обозначить через а образующую группы и ввести соотношение

то

Присоединенное соотношение отображает четные степени элемента а в другими словами, подгруппа Е аддитивной циклической группы N отображается в Определенная этим расширенным множеством соотношений группа (факторгруппа ) есть в точности циклическая группа порядка 2. (Мы говорили о соотношении, присоединенном к «исходному» множеству соотношений, лишь для того, чтобы сохранить схему рассуждений предыдущего примера (группа ).

Рис. 11.7. В группе нет соотношений.

Но в нашем случае «исходное» множество соотношений «пусто» — группа свободна; см. стр. 81.)

Какое действие на граф группы N оказывает переход всех элементов подгруппы Е в элемент

Рис. 11.8.

Чтобы ответить на этот вопрос, придадим графу удобную форму и затем склеим вершины, соответствующие элементам подгруппы Е, с вершиной, соответствующей вершине Остальные вершины, соответствующие элементам класса смежности О, также склеиваются в одну точку (рис. 11.8). При этом граф группы N превращается в бесконечно много раз повторенный граф циклической группы порядка 2, одна из вершин которого соответствует смежному классу Е, а другая — смежному классу О.

На рис. 11.9 изображен граф факторгруппы

Если вместо соотношения мы присоединим соотношение , то в будет обращаться подгруппа Т всех чисел, кратных 3.

Рис. 11.9,

Граф, приведенный к удобному нам виду, и граф, полученный после склеивания вершин, соответствующих элементам подгруппы Г, с вершиной, соответствующей элементу , изображены на рис. 11.10. Полученный граф есть граф факторгруппы

Рис. 11.10. Т — подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных 3; U — смежный класс где а имеет вид — смежный класс ЬТ, где b имеет вид

Изучение групп и N приводит нас к такому способу построения факторгрупп:

(1) Рассмотрим группу G с заданными образующими и определяющими соотношениями.

(2) Введем новое соотношение, т. е. приравняем элементу I некоторое слово от образующих группы

(3) Из этого нового соотношения следует, что становятся равными I еще и некоторые другие элементы группы G. Множество всех элементов g группы G, для которых равенство является следствием добавленного соотношения и групповых аксиом, образует нормальную подгруппу К группы

(4) Соотношения из п. (1) и (2) в совокупности определяют факторгруппу

Это некоторая разновидность определения факторгруппы с помощью гомоморфного отображения, так как условия п. (2) и (3) вместе эквивалентны заданию гомоморфного отображения группы G на факторгруппу при котором в I отображаются в точности все элементы нормальной подгруппы К.

Мы можем следующим образом обобщить этот способ:

(1) Рассмотрим группу G с заданными образующими и n определяющими соотношениями

(2) Введем s дополнительных соотношений

приравнивая к I слова от образующих группы

(3) Множество всех элементов g группы G, для которых равенство является следствием добавленных соотношений и групповых аксиом, образует нормальную подгруппу К группы G.

(4) Все соотношений определяют факторгруппу .

Мы не будем приводить полного доказательства этих утверждений и ограничимся лишь тем, что укажем, как присоединение новых соотношений определяет нормальную подгруппу К группы G. Рассмотрим сначала элементы g группы G, для которых равенство является следствием некоторого присоединенного соотношения, скажем . Так как — слово от образующих группы G, то соответствует некоторому элементу я группы G. Согласно нашему новому соотношению, следовательно, , где у — произвольный элемент группы G. Таким образом,

есть множество элементов g, для которых соотношение является прямым следствием соотношения

Ясно, что произведение любых двух элементов множества J снова равно произведение любых двух таких произведений также равно и т. д., т. е. если К — множество элементов группы G, порожденное элементами из множества то каждый элемент из К равен и это равенство есть следствие соотношения . Мы предоставляем читателю самостоятельно убедиться, что К — подгруппа группы G.

Будет ли К нормальной подгруппой? Подгруппа К нормальна тогда и только тогда, когда

где у — произвольный элемент группы G. Покажем, что если — некоторое конкретное слово из К, то снова принадлежит Наш метод применим к любому элементу из К и основан на том факте, что любой элемент из К является словом от элементов множества J. Пусть мы выбрали слово

Тогда

так как Поскольку мы имеем

Процедура, примененная нами для доказательства того, что принадлежит К, применима к любому элементу , где k — элемент из К, и, значит, каждый элемент множества принадлежит подгруппе . Кроме того, этот метод применим к любому элементу у группы G; в частности, если k — произвольный элемент подгруппы то принадлежит К.

Таким образом, для любого элемента k подгруппы К существует элемент k в такой, что

или

Это показывает, что каждый элемент подгруппы К принадлежит множеству . Следовательно, — нормальная подгруппа группы G.

Рис. 11.11.

Рис. 11.12.

Чтобы проиллюстрировать наши общие рассуждения об определении факторгруппы с помощью дополнительных определяющих соотношений, рассмотрим такой пример:

(1) В качестве группы G возьмем группу «городских улиц» (стр. 102) с образующими и s и определяющим соотношением (рис. 11.11).

(2) Присоединим соотношения

(3) Множество таких элементов g группы G, для которых равенство является следствием этих новых соотношений и групповых аксиом, порождается элементами и равно множеству всех элементов вида где тип принимают значения (т. е. множеству всех слов, в которые образующие и s входят с четными степенями). Эти элементы образуют нормальную подгруппу К. На графе рис. 11.12 соответствующие вершины отмечены кружками. (Мы опустили стрелки, поскольку они несущественны при изучении распределения элементов по смежным классам.)

(4) Факторгруппа определяется расширенным множеством соотношений

Первые два соотношения дают равенства а последнее можно переписать в виде . Читатель без труда узнает в них определяющие соотношения четверной группы (стр. 96).

Графически распределение элементов по смежным классам факторгруппы показано на рис. 11.13.

Рис. 11.13. Символом О обозначены элементы из К (вида ) символом — элементы из (вида ) символом X — элементы из (вида ) символом — элементы из (вида )

Упражнение 57. Пусть G — некоторая группа и факторгруппа. Что можно сказать о коммутативности следующих групп?

Упражнение 58. Пусть группа G с образующими х и у определена соотношением Покажите, что G некоммутативна. [Указание: используйте результаты предыдущего упражнения, подобрав подходящую некоммутативную группу, изоморфную некоторой факторгруппе ]