Отображения как элементы группы.

Отображение М можно рассматривать как элемент множества отображений. Более того, мы видели, что существует тождественное отображение, и мы покажем далее, что суперпозиция двух отображений снова является отображением. Все это наводит на мысль, что отображения могут быть элементами группы. И действительно, будет установлено, что некоторые множества отображений удовлетворяют групповым аксиомам. При этом мы ограничимся рассмотрением отображений множества на себя.

Для доказательства того, что множество отображений образует группу, нам придется поступить, как всегда, — проверить выполнение групповых аксиом. Мы занимались такого рода проверкой много раз, и общая процедура нам хорошо знакома. Однако наш опыт обращения с отображениями крайне ограничен, и они по-прежнему представляются нам какими-то странными образованиями, которые могут — и весьма сложным способом — переставлять элементы множеств. Поэтому будем проводить проверку очень тщательно, уделяя особое внимание некоторым тонким вопросам. В результате детального исследования мы установим, какие именно множества отображений множества на себя образуют группу. Вообще говоря, далеко не всякое отображение может служить элементом группы. Мы исследуем, насколько совместимы свойства отображения с групповыми аксиомами, и выясним, каким условиям должно удовлетворять отображение, являющееся элементом группы.

Сначала покажем, что последовательное выполнение, или суперпозиция, двух отображений является бинарной операцией на множестве отображений данного множества S на себя.

(1) Бинарная операция. Нужно показать, что если — два отображения множества S на себя, то их произведение также является таким отображением.

Представим схематически в виде

где — элементы данного множества S. Первое отображение ставит в соответствие элементу а некоторый элемент b, т. е. Отображение ставит в соответствие элементу b элемент с, т. е. .

Таким образом, при последовательном выполнении отображений элемент а переходит в элемент с, т. е. и, следовательно, — отображение множества S. Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что — отображение на все множество S, т. е. что если у — произвольный элемент множества S, то найдется элемент который переходит при отображении в элемент у.

(2) Ассоциативность. На первый взгляд может показаться, что бинарная операция — последовательное выполнение отображений — несомненно ассоциативна. Однако если учесть, что элементы исходного множества при каждом отображении меняются местами, то этот факт перестает быть столь уж очевидным. Остановимся подробно на проверке этого требования.

Мы должны показать, что для любых трех отображений множества S на себя справедливо соотношение

Если — произвольный элемент множества S, то переводит в некоторый элемент у.

Так как каждое из отображений ставит в соответствие каждому элементу множества S в точности один элемент этого же множества, то найдутся такие элементы r и w множества S, что

Таким образом, при отображении (МММ осуществляются последовательные переходы: — в результате которых . При отображении сначала элемент переходит в у, затем у переходит в w и в результате также переходит в w. Следовательно, образом элемента при обоих отображениях ) является один и тот же элемент m. Это и доказывает ассоциативность.

(3) Единица. При тождественном отображении каждый элемент рассматриваемого множества соответствует сам себе, т. е.

Ясно, что это отображение является единичным элементом относительно бинарной операции суперпозиции отображений: .

(4) Обратные элементы. Рассмотрим отображение

обратное к нему отображение, обозначаемое через ЛМ, должно переводить элемент из области значений отображения М в тот элемент области определения, которому он был сопоставлен при отображении М. Иначе говоря, при отображении каждый образ переводится обратно в тот элемент, из которого он получился при отображении М. Тогда

(Заметим, что в записи отображения участвуют те же строки, что и в записи отображения М, их лишь нужно поменять местами.) Тогда

и, аналогично, , т. е. отображение является обратным к М.

Рассмотрим, например, отображение

Допустим, что это отображение имеет обратное, скажем X. Тогда для выполнения равенств необходимо, чтобы X переводило соответственно и . Но это уже не отображение, так как по определению отображение ставит в соответствие каждому элементу области определения в точности один элемент области значений, в то время как X переводит элемент r в два элемента . Поэтому отображение N не имеет обратного.

Какое различие между отображениями М и N приводит к тому, что М имеет обратное отображение, а N — нет? При отображении М различные элементы области определения переходят в различные элементы области значений, а при отображении N элементам и и w сопоставляется один и тот же элемент r. Отображение имеет обратное в том и только том случае, когда оно различные элементы переводит в различные элементы, т. е. каждый элемент из его области значений соответствует только одному элементу области определения. Отображение, обладающее таким свойством, называется взаимно однозначным.

Мы показали, что множество всех взаимно однозначных отображений множества на себя образует группу относительно операции суперпозиции, или последовательного выполнения отображений. В следующих главах мы познакомимся с такими группами конкретно, когда займемся исследованием групп подстановок и симметрических групп,

Дополнительные замечания об обратных отображениях. Рассмотрим отображение определенное формулой

График отображения изображен на рис. 9.1 (стр. 125). Будет ли это отображение взаимно однозначным? Предположим, что - различные числа. Различны ли также их образы Числа различны, когда их разность не равна нулю. Так как

т. е.

то правая часть равенства отлична от нуля по предположению различны); следовательно, и левая часть отлична от нуля и

Отображение таким образом, существует. Покажем, что оно задается формулой

Для проверки этого утверждения возьмем сначала образ у числа при отображении , а затем найдем образ числа у при отображении Мы получим

так что отображение переводит каждый элемент в себя и, следовательно,

Точно так же М отображает у в у, поскольку

и, таким образом,

Рассмотрим теперь отображение задаваемое формулой

график которого показан на рис. 9.5. Взаимно однозначно ли это отображение? Пусть — различные числа, т. е.

Рис. 9.5.

Рис. 9.6.

Следует ли отсюда, что ? Разность образов равна

По предположению однако если то Поэтому даже если различны, не обязаны быть различными. Действительно, если причем то . Таким образом, отображение N не взаимно однозначно и поэтому не имеет обратного. Однако если из области определения отображения N исключить всю отрицательную полуось оси (или всю положительную полуось), то полученное при этом отображение N, определенное формулой

взаимно однозначно и имеет обратное (рис. 9.6). В области определения отображения N равенство выполняется только для так что различные элементы переходят в различные.

Отображение N — это взаимно однозначное отображение множества всех неотрицательных действительных чисел на себя. Обратным для него является отображение

Чтобы проверить равенства заметим, что отображение можно задать формулой

а - формулой