Образующие и соотношения группы диэдра Dn.

Мы подробно исследовали определяющие соотношения одной из групп диэдра, а именно группы Те же самые методы можно использовать для доказательства того, что общая группа диэдра полностью определяется следующими требованиями:

(1) Dn порождается двумя своими элементами, обозначаемыми через r и ;

(2) эти образующие удовлетворяют трем определяющим соотношениям

(На стр. 82 объяснялось, какое множество соотношений мы называем множеством определяющих соотношений.) Особый интерес представляют частные случаи групп диэдра для малых n. При определяющие соотношения группы диэдра принимают следующий вид:

Поскольку если то у нас остается два определяющих соотношения: Но они определяют циклическую группу порядка 2. Таким образом, Есть другой способ убедиться в этом. Достаточно представить группу как группу самосовмещений «многоугольника» с одной стороной, или отрезка. Два положения отрезка, в которых он совмещается сам с собой, таковы:

и граф группы в компактной форме (стр. 77) имеет вид

Если , то определяющие соотношения (2) группы имеют вид

или

Мы построим граф группы изображая «2-угольник» как плоскую фигуру с двумя сторонами-дугами. Рис. 7.3 изображает самосовмещения -угольника.

Рис. 7.3.

Здесь r — вращение, a f — опрокидывание. Если мы примем во внимание установленные ранее (стр. 68) свойства графа группы, то убедимся, что изображение самосовмещений -угольника на рис. 7.3 есть на самом деле диаграмма Кэли группы

Рис. 7.4.

Используя компактное представление для образующих порядка 2 и учитывая, что и r и имеют порядок 2, мы можем упростить граф группы (рис. 7.4). Отметим, что вершина, расположенная на одной диагонали с вершиной помечена символом , но граф ясно показывает, что путь, соответствующий слову приводит в ту же вершину, что и путь, соответствующий слову

Таким образом, — коммутативная группа.

Поскольку группа порядка 4 встречается довольно часто, она получила специальное название четверной группы. Ее также называют квадратичной группой из-за показателя 2 в ее соотношениях. Мы снова встретимся с ней при изучении группы самосовмещений тетраэдра.

Коммутативные группы диэдра. Группы коммутативны, но достаточно взглянуть на графы групп (стр. 77), чтобы убедиться в том, что они не коммутативны. Можем ли мы сформулировать общее утверждение о коммутативности группы диэдра , мы покажем, что единственными коммутативными группами диэдра являются группы

Теорема 3. Соотношение

будет следствием определяющих соотношений

группы диэдра с образующими r и f только в том случае, когда или или, в иной формулировке: если , то группа диэдра не коммутативна.

Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что в любой коммутативной группе диэдра

Если n четно, то соотношение влечет за собой соотношение так что наши исходные определяющие соотношения эквивалентны таким соотношениям:

т. е. определяющим соотношениям группы . Если n нечетно, скажем , то

Следовательно, и исходные определяющие соотношения эквивалентны соотношениям

определяющим соотношениям группы . Доказательство завершено.

Группа диэдра Существует ли группа диэдра бесконечного порядка? Построив ее граф, мы докажем, что она действительно существует. Граф группы состоит из двух -угольников, составленных из -отрезков, и связывающих их -отрезков.

Рис. 7.5

Если вспомнить сейчас, как граф группы связан с графом группы (-угольник заменяется прямой, разбитой на бесконечное множество отрезков), то возникает мысль построить граф группы из графа группы заменив два -угольника двумя связанными между собой параллельными прямыми (рис. 7.5). Эта схема, состоящая из направленных отрезков, обладает всеми свойствами графа группы, и мы обозначим соответствующую группу через

Исследуем тёперь группу с точки зрения образующих и определяющих соотношений. Заметим, что первое из определяющих соотношений

группы в графе группы не выполняется. (Аналогично в случае группы соотношение не выполняется, и мы его отбросили.) Отбросим соотношение и сохраним в качестве предполагаемых определяющих соотношений группы лишь

Чтобы выполнялось в каждой вершине графа группы должна быть петля или, в компактной форме, -отрезок. Соотношение соответствует четырехугольнику в каждой вершине, причем сторонами четырехугольника должны быть чередующиеся -отрезки и -отрезки. Граф на рис. 7.5 обладает именно этими свойствами.

Прямое произведение. При взгляде на диаграммы Кэли всех групп диэдра возникает ощущение, что это «продублированные» диаграммы Кэли циклических групп. Группа представляется с помощью двух -угольников, составленных из -отрезков и связанных один с другим посредством -отрезков. Группа представляется двумя параллельными прямыми, составленными из -отрезков, связанных -отрезками. Это наводит на мысль о том, что новые, «большие» группы можно иногда образовывать, комбинируя «меньшие» группы.

Рассмотрим граф группы диэдра, в котором мы изменили на противоположное направление отрезков одного из многоугольников и соответствующим образом переобозначили вершины. На рис. 7.6 изображена диаграмма Кэли группы после этой модификации. В группе, соответствующей этому новому графу, соотношения по-прежнему выполняются, а соотношение — нет. Вместо него выполняется, как видно на графе, соотношение или (соответствующее замкнутому пути от к вершине f, затем к вершине к вершине , а потом обратно к

Новая группа является абелевой, или коммутативной, группой с соотношениями

Она обозначается через , так как является «комбинацией» циклической группы и циклической группы

Рис. 7.6.

Упражнение 18. Используйте диаграмму Кэли группы для вычисления последовательных степеней элемента Какой элемент группы соответствует степени Докажите, что .

Рис. 7.7.

[Указание: положите и докажите, что любой элемент группы можно представить как степень элемента

Если мы модифицируем граф группы диэдра изменив на противоположное направление отрезков одного из -угольников, то получим граф «дважды циклической» группы с соотношениями

Из графа группы мы получим граф бесконечной «дважды циклической» группы (рис. 7.7).

Эта диаграмма Кэли напоминает две параллельные улицы с односторонним движением, связанные улицами с двусторонним движением.

Рассмотрим диаграмму на рис. 7.8. Она выглядит как схема улиц с односторонним движением, возможно, как план городского квартала. В группе, соответствующей этому графу, соотношение не выполняется, т. е. порядок элемента f не равен 2.

Рис. 7.8.

Поэтому мы -отрезки изображаем со стрелками. Определяет эту группу единственное соотношение

означающее коммутативность. В строении ее графа оно проявляется в том, что каждая его вершина служит началом замкнутого четырехугольного пути, соответствующего слову . Эта группа «городских улиц» является наиболее общей абелевой группой с двумя образующими. (Естественно считать группу тем более общей, чем меньше существует условий, которым должны удовлетворять ее элементы, а в данном случае единственным условием является ) Группа «городских улиц» обозначается через или

Группа называется прямым произведением циклических групп аналогично, группа является прямым произведением группы С, и группы Понятие «прямого произведения» в его наиболее общей и абстрактной форме чрезвычайно полезно; например, можно показать, что любая конечная абелева группа является прямым произведением циклических групп. Мы лишь очень бегло коснемся свойств прямого произведения, рассчитывая на то, что основные понятия будут усвоены из примеров.

Пусть S — множество с бинарной операцией a G и Н — его подмножества, являющиеся группами относительно операции . Пусть группа G имеет образующие , а группа Н — образующие . Мы будем также считать, что у групп G и Н есть только один общий элемент — единица и что любой элемент из G перестановочен с любым элементом из Н. При этих условиях можно построить прямое произведение G X Н, образовав множество всех произведений элементов из G и Н. Можно показать, что множество G X Н есть группа с образующими

В качестве примера прямого произведения рассмотрим группу «городских улиц» с образующими r и f (рис. 7.8). Каждая из образующих в отдельности порождает некоторую бесконечную циклическую группу. (Напомним, что ни в одной из этих двух циклических групп на образующую не налагается никаких соотношений.) Эти две бесконечные циклические группы не имеют общих элементов, кроме . Поскольку мы условились, что или , то любой элемент первой группы будет перестановочен с любым элементом второй группы и множество образующих порождает прямое произведение

Прямое произведение и определяющие соотношения. В общем случае определяющие соотношения прямого произведения G X Н можно получить из определяющих соотношений групп-сомножителей G и Я присоединением к ним соотношений, выражающих перестановочность любой образующей группы G с любой образующей группы H. Присоединенные соотношения гарантируют нам, что любой элемент группы G коммутирует с любым элементом группы H, — такое требование входит в определение прямого произведения. Рассмотрим теперь несколько групп, являющихся прямыми произведениями, и исследуем их определяющие соотношения.

Чтобы построить группу зададим циклическую группу порядка 2, порожденную элементом с соотношением и другую циклическую группу порядка 2, порожденную элементом у с соотношением Группа имеет образующие и , удовлетворяющие соотношениям Требование, чтобы и у коммутировали между собой, можно записать формулой что, конечно, эквивалентно соотношению Таким образом, группа задается определяющими соотношениями групп-сомножителей

и дополнительно соотношением

Так как , то определяющие соотношения группы можно переписать в виде

или

Но это определяющие соотношения группы (четверной группы; см. стр. 97). Таким образом, .

Рассмотрим теперь прямое произведение . Пусть группа порождается элементом удовлетворяющим соотношению элементами у и z, удовлетворяющими соотношениям

Рис. 7.9.

Чтобы получить определяющие соотношения группы , мы присоединим к определяющим соотношениям групп два соотношения

первое из них означает, что элемент перестановочен с элементом у, а второе — что перестановочен с элементом 2.

Рис. 7.10.

Так как все образующие имеют порядок 2, то мы можем переписать эти присоединенные соотношения в таком виде:

и полная система определяющих соотношений группы выглядит так:

Рассмотрим графическое представление группы на рис. 7.9. Заметим, что некоторые части этого графа, взятые независимо от других его частей, можно рассматривать как графы групп.

Например, каждая из конфигураций, изображенных на рис. 7.10, является графом четверной группы. В следующей главе, посвященной подгруппам, мы выясним значение такого «графа внутри графа».

Упражнение 19. Найдите множества определяющих соотношений и графы прямых произведений

Упражнение 20. Покажите, что используя диаграммы Кэли, таблицы умножения или соотношения между образующими. (Вообще где k — четное число.)

Упражнение 21. Нарисуйте граф группы, определяемой соотношениями [Указание: сначала покажите или, если нужно, предположите, что ]

Упражнение 22. (а) Пусть — группа с образующими f и g и определяющими соотношениями Нарисуйте граф этой группы.

(Ь) Напомним, что определяющими соотношениями группы с образующими будут равенства (стр. 98). Покажите, что соотношения где также будут определяющими для группы