ГЛАВА 10. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК

Многие работы по теории групп посвящены исследованию класса групп, называемых группами подстановок (или группами перестановок). Группы подстановок особенно интересны тем, что с их помощью можно получить конкретные представления всех конечных групп. В этой главе мы увидим, что любая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок.

Мы приводили много примеров отображений, записанных в виде двух строк, заключенных в скобкй, где элементы из области определения стояли в верхней строке, а элементы из области значений — в нижней. Было показано также, что множество взаимно однозначных отображений множества из n элементов на себя составляет группу отображений. Такие отображения называют подстановками, а группы, элементами которых являются подстановки, — группами подстановок.

Пусть множество состоит из трех элементов, расположенных в произвольном, но фиксированном порядке: . В таких случаях часто бывает удобно обращать внимание лишь на нижние индексы и считать, что мы имеем дело с последовательностью 1, 2, 3; таким образом, например, третий элемент обозначается просто как 3.

Пусть теперь М — некоторое взаимно однозначное отображение этого множества на себя:

Будем рассматривать это отображение М как подстановку элементов упорядоченного множества (вместо 1 «подставляется» 2, вместо 2 — 3, вместо 3—1) или как перестановку последовательности 1, 2, 3, в результате которой получается последовательность 2, 3, 1. Именно по этой причине мы называем группу отображений конечного множества в себя группой подстановок (или группой перестановок).

Разложение подстановок в произведение циклов. Отображение, или подстановка М, устанавливает соответствия

Эта циклическая конфигурация наводит на мысль записать М в виде одной строки, заключенной в скобки:

и такая запись будет означать, что М отображает каждый символ в ближайший к нему справа, а последний — в первый. Подстановку М можно записать в виде цикла тремя способами:

так как несущественно, какой элемент указанного цикла мы поставим первым.

Пусть задано следующее отображение N множества из четырех элементов :

Можно ли представить это отображение в виде цикла? Так как 4 отображается в 4, то N можно представить как

если условиться, что любой элемент, не появляющийся в цикле, переходит в себя.

Аналогично,

так как отображение, записанное в левой части, полностью описывается двучленным циклом (2 4), если эту запись понимать так:

Можно ли записать с помощью циклов произвольное отображение конечного множества в себя? Например, как записать отображение

в котором в противоположность предыдущему отображению N множество соответствий не «выстраивается» в один цикл? Начнем с символа 1 и запишем справа от него его образ 2:

Чтобы продолжить цикл далее, надо посмотреть, во что переходит символ 2. Его образом будет 4, и мы пишем

Если мы попытаемся продолжить цикл дальше, то увидим, что отображение А переводит 4 в 1, и окончательно имеем

Но этот цикл не есть запись отображения А, так как соответствующее ему отображение не переводит 3 в 5, а 5 в 3. Эти переходы осуществляются циклом (3 5), который каждый из остальных символов переводит в себя. Итак, ясно, что если выполняется сначала отображение

а затем отображение

то произведение этих отображений (их суперпозиция) есть отображение А, т. е.

Отметим, что поскольку эти два цикла не содержат общих символов и не оказывают друг на друга влияния, то безразлично, в каком порядке мы производим соответствующие отображения; следовательно,

Чтобы получить представление отображения А с помощью циклов, мы воспользовались способом, который можно применить к отображению любого конечного множества на себя. Отсюда следует, что каждую подстановку конечного множества можно записать как произведение циклов, не содержащих общих символов.

Рассмотрим теперь отображения

(12)

и выясним, будут ли перестановочны циклы (1 2) и (2 3) с общим символом 2. Произведение (12) и (2 3) дает:

Таким образом,

С другой стороны, (2 3) (1 2) дает:

Таким образом,

т. е. циклы (12) и (2 3) не коммутируют. Циклы, не содержащие общих символов, перестановочны между собой, а содержащие общие символы могут и не быть перестановочны.

Конечная группа изоморфна группе подстановок. Мы уже подготовили фундамент для одной из основных теорем о представлении конечных групп. В гл. 9 указывалось, что каждую конкретную группу можно рассматривать как одно из многих возможных представлений некоторой абстрактной группы, которая изоморфна каждому из этих представлений. В сформулированной ниже теореме утверждается, что для каждой конечной абстрактной группы существует ее конкретное представление в виде некоторой группы подстановок. Напомним, что подстановка на n символах — это взаимно однозначное отображение множества из n элементов на себя

Теорема 5. Пусть задана конечная группа порядка п. Тогда существует группа подстановок на n элементах, изоморфная данной группе.

Доказательство этой теоремы можно найти в любой книге, посвященной теории конечных групп. Поэтому нам кажется, что читателю будет полезнее проследить ход доказательства в применении к какой-либо конкретной группе (используемый здесь способ рассуждения может быть обобщен до формального доказательства теоремы).

Найдем представление в виде группы подстановок для циклической группы четвертого порядка. Составим прежде всего таблицу умножения этой группы, причем элементы будем обозначать также символами соответственно.

Таблица 10.1

Каждая строка табл. 10.1 - это перестановка верхней строки (см. теорему 1 на стр. 53); например, последовательность (или просто 2, 3, 4, 1) во второй строке есть перестановка последовательности 1, 2, 3, 4 из первой строки. Четыре подстановки (или взаимно однозначных отображения), соответствующие перестановкам в строках, записаны справа от таблицы. Их можно представить с помощью циклов:

(Чтобы записать — в виде циклов, нам пришлось ввести циклы, содержащие один символ.)

Упражнение 46. Проверьте непосредственно, что

и что отображения образуют группу М.

Чтобы убедиться в том, что группа М, состоящая из подстановок изоморфна группе рассмотрим такие движения квадрата, вершины которого перенумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, в результате которых вершины перемещаются в соответствии с подстановками (рис. 10.1). Ясно, что единица группы подстановок М. Сопоставим ей единичный элемент I группы Подстановка эквивалентна повороту против часовой стрелки на Сопоставим ей образующую а группы

Рис. 10.1.

Упражнение 47. Отобразите оставшиеся элементы группы М на элементы группы таким образом, чтобы группа М отображалась на группу изоморфно.

Возникает естественный вопрос: почему отображения, выписанные в табл. 10.1, образуют группу, изоморфную исходной? Вот вкратце основные соображения по этому поводу. Четыре отображения можно описать так:

т. e. — это отображение

Отображение есть последовательное выполнение отображений т. е. при

Таким образом, при отображении

Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между произведениями в группе подстановок и произведениями в группе с теоремой 1 на стр. 53.)

Рис. 10.2

Теперь найдем представление четверной группы в виде группы подстановок (рис. 10.2 и табл. 10.2).

Таблица 10.2

Элементы группы подстановок М записаны в виде двух строк, заключенных в скобки. Их можно следующим образом выразить как произведения циклов:

Упражнение 48. (а) Проверьте, что в группе М выполняются равенства

Запишите с помощью двух строк, заключенных в скобки, изоморфизм группы подстановок М на четверную группу с элементами и определяющими соотношениями

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Как и в предыдущем примере группы представление четверной группы с помощью подстановок подсказывает конкретную интерпретацию, основанную на перемещениях четырех объектов. На этот раз объекты будут помещены в четыре вершины правильного тетраэдра (рис. 10.3). Тождественная подстановка оставляет все вершины в первоначальном положении. Чтобы представить подстановку , нужно поменять местами объекты в вершинах 1 и 2, 3 и 4 (рис. 10.4). Правильный тетраэдр можно перевести из начального положения в положение, соответствующее результату подстановки вращением на 180° вокруг оси АВУ изображенной на рис. 10.4 Ось АВ проходит через середины двух «противоположных» ребер 1—2 и 3—4, Мы будем называть ее медианой тетраэдра.

Аналогично, отображения можно интерпретировать как вращение на 180° вокруг медиан CD и EF соответственно (рис. 10.5).

Рис. 10.5.

Таким образом, одним из представлений четверной группы является некоторое множество движений правильного тетраэдра, в результате которых он совмещается со своим первоначальным положением, а именно вращений на 180° вокруг медиан. Можно показать, что три эти медианы пересекаются в одной точке и попарно перпендикулярны. Поэтому можно считать, что четверная группа состоит из вращений взаимно перпендикулярных осей, в результате которых оси совмещаются со своим исходным положением.

В следующем разделе мы рассмотрим совокупность всех самосовмещений правильного тетраэдра — группу тетраэдра — и увидим, что группа тетраэдра содержит четверную группу в качестве своей подгруппы.

Упражнение 49. (а) Постройте группу подстановок на шести объектах, изоморфную группе диэдра порядка 6.

(Ь) Запишите каждый из элементов этой группы подстановок с помощью циклов.

Упражнение 50. Пусть задано шесть элементов: Покажите, что они образуют группу диэдра D порядка 6. [Замечание: здесь элементы группы представлены с помощью подстановок на трех символах, в то время как в предыдущем упражнении для этой дели использовались подстановки на шести символах.]