Симметрические многочлены.

Существует связь между симметрическими группами и симметрическими многочленами. В качестве примера симметрического многочлена от двух переменных рассмотрим

Значение зависит от значений Однако значение не изменится, если мы поменяем между собой Такая операция на самом деле означает, что мы отображаем множество на себя так, что а затем каждый элемент в записи многочлена заменяем его образом.

Так как существует всего два отображения множества на себя,

то значение многочлена не меняется при замене элементов на их образы при любом отображении из симметрической группы

Примером симметрического многочлена от трех переменных служит

Легко показать, что значение многочлена не меняется при замене элементов их образами при любом отображении из группы

В общем случае симметрический многочлен от n переменных — это многочлен, значение которого не меняется при замене n переменных их образами при любом отображении (или подстановке) из симметрической группы

Транспозиции. Когда мы выражаем элементы симметрической группы с помощью циклов специального вида — так называемых транспозиций, — то отчетливо проявляются некоторые интересные особенности ее структуры. В гл. 10 мы показали, что любое отображение конечного множества на себя можно записать в виде произведения циклов от непересекающихся множеств символов, например,

В цикл (12 4) входят три символа, а в цикл (3 5) — только два. Цикл, в который входят лишь два различных символа, называется транспозицией. Мы покажем, что любой цикл можно представить в виде произведения транспозиций. Так как каждое отображение из симметрической группы есть произведение циклов, то любой элемент симметрической группы можно представить в виде произведения (последовательное выполнение) транспозиций.

В качестве иллюстрации этого утверждения проверим, что . Для этого проследим, как отображаются символы 1, 2, 4:

Таким образом, подстановка действует следующим образом: т. е. как цикл (12 4), что и утверждалось.

Любой цикл из трех различных символов можно представить в виде произведения двух транспозиций:

Аналогично, цикл из четырех символов можно представить с помощью трех транспозиций:

Вообще, цикл из символов представляется в виде последовательности транспозиций:

Упражнение 59. Покажите, что если подстановка на множестве из символов представима в виде произведения циклов, в которые входят все символов, но ни один из символов не входит в два цикла, ее можно представить как последовательность транспозиций.

Заметим, что представление отображения или подстановки в виде произведения транспозиций не единственно. Например, отображение

можно представить так:

Но мы видим, что в каждом из этих представлений число транспозиций одно и то же, и можно было бы высказать предположение, что каждая подстановка характеризуется этим числом транспозиций. Однако простой пример показывает, что это не так:

В действительности существует бесконечно много способов такого представления — чтобы убедиться в этом, достаточно принять во внимание тождества

Покажем теперь, что либо каждое представление заданной подстановки в виде произведения транспозиций содержит четное число транспозиций, либо каждое такое представление содержит нечетное число транспозиций. Рассмотрим многочлен

от трех переменных (Мы ограничимся рассмотрением случая трех переменных, но наши рассуждения без труда переносятся и на случай переменных.) Посмотрим, как устроен многочлен он представляет собой произведение всех разностей где Ясно, что любое четное число транспозиций переменных оставляет многочлен без изменения, в то время как нечетное число таких транспозиций переводит его в многочлен Рассмотрим теперь любую подстановку трех переменных или, что равносильно, любую подстановку трех индексов 1, 2, 3. Каждая такая подстановка есть элемент группы и ее можно записать в виде последовательности транспозиций. Если некоторая подстановка не изменяет многочлена то любое ее представление в виде произведения транспозиций должно содержать четное число транспозиций. Если же преобразует многочлен то любое представление ее с помощью транспозиций будет содержать нечетное число транспозиций. Отсюда мы заключаем, что одна и та же подстановка не может быть одновременно записана в виде произведения четного и нечетного числа транспозиций.

Подстановка называется четной, если число транспозиций в любом из ее представлений четно; в противном случае она называется нечетной. Тождественную подстановку (единицу группы) будем считать четной, так как в нее не входит ни одна транспозиция. Четность или нечетность данной подстановки не зависит ее конкретного представления с помощью транспозиций.

Упражнение 60. Покажите, что любая подстановка на множестве из n символов может быть представлена в виде произведения, в которое могут входить лишь транспозиции . Выведите отсюда, что эти транспозиций можно взять в качестве множества образующих группы [Указание: используйте следующее тождество: ]