ГЛАВА 14. ГРУППЫ ПУТЕЙ

Пути в пространстве.

В этой главе мы рассмотрим группы путей. Мы хотим показать, что определение группы с помощью образующих и соотношений совершенно естественно возникает и при изучении некоторых топологических вопросов. Изложение понятий, связанных с группами путей, будет существенно опираться на пространственную интуицию читателя.

Мы будем рассматривать замкнутые пути, которые начинаются и кончаются в фиксированной точке Р (начальной, или базисной точке) пространства. Термину «путь» мы отдаем предпочтение перед термином «кривая», подчеркивая тем самым, что на пути задано определенное направление. Это согласуется с нашими прежними рассмотрениями путей вдоль направленных отрезков графа группы. Форма пути для нас не существенна. Напротив, мы даже заинтересованы в допустимых изменениях его формы. Назовем два пути исходящие из точки Р, равными и будем говорить, что это «один и тот же путь», если путь можно при помощи непрерывной деформации превратить в путь . Мы уже называли такие пути топологически эквивалентными (см. стр. 72). Они называются также гомотопными.

С первого взгляда может показаться, что все замкнутые пути равны, или гомотопны. Если взять точку Р в «пустом» пространстве, то любой замкнутый путь, исходящий из точки Р, можно непрерывным образом (не допуская разрывов) стянуть в эту точку.

Если же в пространстве содержится «препятствие», то положение меняется. Предположим, например, что нам «запрещено» выходить за пределы некоторой плоскости и что в этой плоскости задан круг, через который не может проходить никакой путь. Тогда любой путь который не обходит этот круг, можно непрерывным образом стянуть в точку Р. Но путь огибающий этот круг, нельзя ни стянуть в точку Р, не «разрывая» пути и не проходя при этом через «запретную» область, ни деформировать в путь (см. рис. 14.1).

Рис. 14.1.

Рис. 14.2.

Бинарная операция на путях в пространстве. Рассмотрим теперь замкнутые пути в трехмерном пространстве и определим бинарную операцию для любых двух замкнутых путей исходящих из точки Р (см. рис. 14.2), следующим образом:

(a) оторвем конечную точку пути от точки Р (рис. ;

(b) оторвем начальную точку пути от точки Р (рис. 14.3,б);

(c) соединим конечную точку пути с начальной точкой пути в результате мы получим замкнутый путь (рис. .

Назовем путь b произведением путей и будем писать . Легко проверить, что эта операция ассоциативна.

Мы хотим построить группу, элементами которой являются множества или классы гомотопных путей, так что нам нужно определить бинарную операцию на классах путей. (Два замкнутых пути принадлежат одному и тому же классу, если их можно непрерывно деформировать один в другой.)

Изучая классы путей, мы будем использовать по одному элементу от класса в качестве представителя всего класса. (Аналогичные ситуации встречались нам и раньше, например на стр. 29 мы использовали одно вращение в качестве представителя целого класса А вращений, а на стр. 86 — одно слово в качестве представителя целого класса эквивалентных слов.)

Рис. 14.3.

Поэтому мы определим произведение двух классов гомотопных путей следующим образом: если — путь из первого класса, путь из второго класса, а их произведение, то класс всех путей, гомотопных пути будет произведением этих двух классов.

Следует проверить, что это определение корректно, т. е. что произведение двух классов не зависит от выбора путей-представителей в каждом из сомножителей. Пусть — два пути и Предположим, что а — произвольный путь из того же класса, что и (а можно непрерывной деформацией перевести в ), — произвольный путь из того же класса, что и Интуиция подсказывает нам, что путь-произведение гомотопен пути Таким образом, произведение двух классов не зависит от того, какие конкретные пути выбраны в качестве представителей этих классов.

Введем теперь в пространство некоторое «препятствие»: пути могут проходить через все точки трехмерного пространства, кроме точек, принадлежащих некоторой замкнутой кривой А. (Для определенности будем считать, что А — окружность.)

Чтобы наши дальнейшие рассуждения были более понятными, советуем читателю представлять себе кривую А как некую непреодолимую преграду. Множество точек трехмерного пространства, которое останется, если выкинуть точки, принадлежащие кривой А, называется многообразием. Рассмотрим замкнутые пути в многообразии, которые начинаются и кончаются в точке Р, и определим их гомотопические классы. Мы изучаем пути, проходящие только через точки нашего многообразия, а А рассматриваем как непреодолимую преграду.

Рис. 14.4.

Тогда возникают по меньшей мере две существенно различные ситуации, которым соответствуют пути на рис. 14.4 (разрыв на линии А показывает, что путь проходит над А, а разрыв на пути — что он проходит под кривой А):

(1) путь можно стянуть в точку Р с помощью непрерывной деформации;

(2) путь нельзя непрерывно деформировать в точку Р, не проходя через непреодолимую преграду.

Таким образом, существует по крайней мере два гомотопических класса замкнутых путей, исходящих из точки Р: один класс состоит из всех путей, которые можно непрерывно деформировать в Р (он обозначается через ), а второй состоит из всех путей, которые можно непрерывно деформировать в путь но нельзя стянуть в Р (он обозначается через ). Пути из класса один раз зацепляют кривую А.

Мы использовали символ для обозначения совокупности всех путей, гомотопных пути т. е. всех путей, один раз зацепляющих окружность А, как показано на рис. 14.4.

Произвольный путь из этого множества, или класса, можно взять в качестве представителя всего этого класса. Мы будем употреблять для него символ а (выбирать какой-либо специальный путь нет необходимости). Вообще, если — любой путь, то обозначает класс путей, гомотопных пути .

Обратный путь. Покажем, что для любого класса гомотопных путей многообразия существует класс обратный к [b], такой, что произведение любого пути из и любого пути из принадлежит классу [I]. Иными словами, оказывается единицей группы, элементами которой являются классы гомотопных путей.

Рис. 14.5.

Опишем сначала путь, обратный к каждому отдельному пути, а затем покажем, что для любого пути, гомотопного данному, обратный путь лежит в том же самом классе, что и обратный к исходному пути. Если b — произвольный путь, исходящий из точки Р, то через обозначим путь, полученный из пути b лишь переменой направления. Покажем, что пути принадлежат классу для любого пути b.

Рассмотрим, например, путь а на рис. 14.5. Мы изобразили обратный к нему путь пунктирной линией. (На самом деле пунктирная и сплошная линии совпадают, на них лишь заданы противоположные направления; мы разделили их лишь для наглядности.) Образуем описанным ранее способом произведения Получающиеся при этом пути изображены на рис. 14.6, а) и 14.6, б). (Здесь снова каждый из этих путей отличается лишь направлением, и для наглядности мы разделили их.) Нетрудно заметить, что вне зависимости от того, как данный путь расположен по отношению к окружности, пути можно стянуть в точку.

Ясно также, что любой сомножитель в произведении можно заменить некоторым эквивалентным ему путем, т. е. если путь b гомотопен пути , а с гомотопен то путь можно стянуть в точку и он принадлежит классу

Рис. 14.6, а)

Рис. 14.6, б)

Таким образом, класс, обратный к классу гомотопных путей , — это совокупность всех путей, гомотопных пути . Тогда произведение (в том виде, как оно было определено выше) любого класса и обратного к нему равно классу . Читателю предоставляется проверить, что — единица, т. е. что , где - произвольный класс гомотопных путей.

Рис. 14.7.

Рис. 14.8.

Рассмотрим теперь класс путей, представляемый элементом или Так как произведение классов не зависит от выбора того или иного представителя, мы образуем произведение двух разных путей из класса эти пути на рис. 14.7 помечены символами а и а. Напоминаем, что произведение получается соединением конечной точки пути а с начальной точкой пути см. рис. 14.8. Заметим теперь, что путь проходит над и под окружностью А следующим образом (в направлении, указанном стрелками): он начинается в точке Р, проходит над дугой окружности А, затем под ней, затем снова над и снова под и возвращается в точку Р.

Таким образом, путь или путь дважды зацепляет окружность А. Его можно деформировать в путь, показанный на рис. 14.9, и, конечно, нельзя деформировать ни в путь класса ни в путь класса Путь принадлежит новому классу, который мы обозначим через или

Рис. 14.9.

Представителем обратного к нему класса будет путь, который делает двойную петлю вокруг дуги окружности А в направлении, противоположном направлению пути Другими словами, после выхода из точки Р путь проходит сначала под А, затем над А, затем снова под и снова над, а потом возвращается в точку Р.

Обозначим через класс путей, гомотопных произведению пути из и пути из . Легко видеть, что путь из класса делает тройную петлю (трижды зацепляет А) вокруг дуги окружности А, а — класс путей, которые трижды обходят вокруг дуги окружности А, но в противоположном направлении. Аналогичным образом можно построить классы и т. д.

Множество всех гомотопических классов путей в нашем многообразии образует группу.

Элементы группы. Классы замкнутых путей, которые можно непрерывно деформировать один в другой. Эти пути лежат в многообразии, определенном окружностью А; все они начинаются и кончаются в точке Р.

Ассоциативная бинарная операция. Объединение в один путь двух путей-представителей посредством соединения конечной точки первого с начальной точкой второго.

Единица. Класс замкнутых путей, которые можно непрерывно стянуть в точку Р.

Обратные элементы. Каждому классу путей соответствует единственный обратный класс, такой, что произведение любой пары представителей этих классов принадлежит классу

Элементы этой группы — классы

Ясно, что наша группа порождается классом и изоморфна бесконечной циклической группе

Многообразие, определенное двумя окружностями. Рассмотрим теперь многообразие, которое получается из трехмерного пространства выкидыванием двух непересекающихся и несцепленных окружностей; см. рис. 14.10.

Рис. 14.10.

Оно состоит из всех точек трехмерного пространства, за исключением точек этих окружностей А и В. Как и прежде, нас интересуют замкнутые пути в этом многообразии, начинающиеся и кончающиеся в фиксированной точке Р многообразия. Замкнутые пути, зацепляющие лишь одну из этих окружностей, - это пути уже рассмотренного нами типа. Обозначим классы таких путей, связанных с окружностью А, через и т. д., а связанных с окружностью В — через [6], и т.д. К новому типу приводят пути, зацепляющие обе окружности. Построим пути и выясним, можно ли один из этих путей непрерывно деформировать в другой.

Решить этот вопрос — все равно, что выяснить, будет ли группа путей, связанная с нашим новым многообразием, коммутативной.

Рис. 14.11.

Чтобы найти путь соединим конечную точку пути а из класса с начальной точкой пути b из класса см. рис. 14.11.

Рис. 14.12.

Выпишем последователь ность прохождения этих путей под и над соответствующими окружностями:

Аналогично образуем путь см. рис. 14.12. Распространим понятие обратного пути на наше новое многообразие. Назовем путь, который проходит по пути но в направлении, противоположном его стрелкам, обратным к пути и обозначим его через

Мы предоставляем читателю убедиться, что оба пути

можно стянуть в точку Р, т. е. что оба они принадлежат классу . Читатель может также проверить, используя рис. 14.13, что

Рис. 14.13.

Вернемся теперь к вопросу о коммутативности: равны ли пути т. е. можно ли путь непрерывно деформировать в путь ? Используя то, что мы знаем об обратных путях, сформулируем этот вопрос так: выполняется ли в нашем многообразии соотношение

Чтобы ответить на этот вопрос, изучим путь изображенный на рис. 14.14.

Рис. 14.14.

Он получается соединением конечной точки пути с начальной точкой пути Этот путь можно деформировать в путь, изображенный на рис. 14.15.

(Здесь мы полагаемся на геометрическую интуицию читателя; к тому же можно взять модель, сделанную из двух колец и куска бечевки, и убедиться в том, что это действительно так.) Путь такого типа, изображенный на рис. 14.14, называется зацепленным в многообразии, определенном двумя несцепленными окружностями А и В.

Рис. 14.15.

Таким образом, мы убедились, что путь нельзя стянуть к точке Р, и тем самым установили, что ассоциированная с нашим многообразием группа путей некоммутативна.

Новое многообразие с двумя сцепленными окружностями. Рассмотрим многообразие, определенное двумя сцепленными окружностями А и см. рис. 14.16.

Рис. 14.16.

Теперь мы уже не можем стянуть одну из них в точку, не затронув другую. Как и раньше, наши классы состоят из путей в многообразии всех точек трехмерного пространства, за исключением точек, лежащих на окружностях А и В. Снова мы рассматриваем лишь замкнутые пути, начинающиеся и кончающиеся в фиксированной точке Р этого многообразия.

Построим пути чтобы выяснить, будет ли в этом новом многообразии выполняться равенство

Тем же способом, что и раньше, строим путь Заметим, что он проходит в нашем новом «сцепленном» многообразии через те же точки, через которые проходил соответствующий путь в прежнем «несцепленном» многообразии (ср. рис. 14.15 и 14.17). Мы утверждаем, что путь можно непрерывной деформацией стянуть в точку Р, т. е. что путь принадлежит классу .

Легче всего убедиться в этом, обратившись к модели. Если надеть петлю из бечевки на два сцепленных кольца так, как это показано на рис. 14.17 (петля тогда изобразит путь то можно освободить бечевку от колец, не разрывая бечевки и не ломая колец.

Рис. 14.17.

Чтобы убедиться в этом, подвинем петлю X вдоль окружности А в направлении против часовой стрелки к петле У, проходя сначала над окружностью В, а затем под ней. Когда петля X подойдет к У, мы увидим, что путь не зацепляет окружности В. Относительно окружности А путь расположен так: он начинается в точке Р, проходит над А, под , под и над . Такая последовательность показывает, что путь не зацепляет окружность А. Таким образом, путь принадлежит классу .

Группа путей, соответствующая нашему многообразию, определенному двумя сцепленными окружностями, имеет две образующие — пути а и b (точнее, классы путей ). Эти образующие удовлетворяют соотношению . С такой группой мы уже встречались — это группа С», группа «городских улиц» (см. стр. 102).

Зацепленные пути в многообразии. Мы видели, что путь в многообразии, определенном двумя несцепленными окружностями, зацеплен, но тот же путь, рассматриваемый как путь в многообразии, определенном двумя сцепленными окружностями, не зацеплен. Таким образом, будет ли данный путь зацеплен, зависит не только от пути, но и от многообразия, в котором он расположен.