ГЛАВА 12. ГРУППА КВАТЕРНИОНОВ

Каждая подгруппа коммутативной группы нормальна. Существуют ли неабелевы группы, у которых все подгруппы нормальны? Существуют ли такие неабелевы группы, ни одна собственная подгруппа которых не является нормальной? Группы обоих указанных типов действительно существуют. Наименьшая неабелева группа, все подгруппы которой нормальны, — это так называемая группа кватернионов, открытая Гамильтоном. Она имеет порядок 8. Наименьшая неабелева группа без собственных нормальных подгрупп — это группа икосаэдра порядка 60.

Группа икосаэдра хорошо известна в математике благодаря той роли, которую она сыграла в исследованиях Галуа о разрешимости уравнения пятой степени общего вида. Галуа показал, что свойства решений любого алгебраического уравнения зависят от группы подстановок, связанной с этим уравнением, и что разрешимость уравнения в сущности определяется наличием или отсутствием нормальных подгрупп и свойствами факторгрупп по этим подгруппам. Для уравнений пятой степени общего вида, например, решающим оказывается то обстоятельство, что группа икосаэдра не имеет собственных нормальных подгрупп. Эту группу мы рассмотрим в приложении.

Основные свойства группы кватернионов Q порядка 8 были описаны в 40-х годах прошлого века Гамильтоном. Сделав ряд важнейших открытий в области оптики и динамики, он обратился к математическим исследованиям.

Гамильтон изучал вопрос о возможности обобщения комплексных чисел (т. е. чисел вида , где ), надеясь получить с помощью этих обобщенных комплексных чисел такое же удобное описание вращений в трехмерном пространстве, какое достигается с помощью обычных комплексных чисел для вращений в плоскости. Гамильтон показал, что для этого необходимо ввести две дополнительные «единицы», и k. В то время как обычные комплексные числа строятся с помощью двух «единиц», 1 и i, обобщенные гиперкомплексные числа Гамильтона строятся с помощью четырех «единиц», отсюда и их название «кватернионы». Кватернион q есть линейная комбинация четырех единиц, т. е. комбинация вида

где — действительные числа. Эти гиперкомплексные числа и в самом деле представляют вращения в трехмерном пространстве (а также и в четырехмерном пространстве).

По определению они удовлетворяют следующим основным соотношениям:

отсюда можно вывести, что

и

Таким образом, не все кватернионные единицы и, следовательно, не все кватернионы перестановочны. Это и не удивительно в свете того факта, что вращения в трехмерном пространстве, вообще говоря, не коммутируют между собой.

Группа кватернионов Q состоит из восьми элементов:

(четырех кватернионных «единиц» и четырех противоположных им элементов).

Для удобства положим

тогда и группа Q определяется соотношениями

Перепишем все восемь ее элементов:

Нетрудно построить граф группы кватернионов, если заметить, что

Выписанные соотношения можно вывести из основных соотношений этой группы. (Относительно подробностей см. решение упр. 21.) Соотношения сразу наводят на мысль, что искомый граф состоит из двух связанных между собой четырехугольников.

Рис. 12.1

Граф группы кватернионов Q представлен на рис. 12.1. Следует помнить, что это лишь проекция на плоскость его трехмерного изображения. На самом деле -отрезки проходят один над другим, не пересекаясь (но изобразить это на плоском рисунке в принципе невозможно).

Из теоремы Лагранжа следует, что любая собственная подгруппа группы Q имеет порядок 2 или 4.

Единственная абстрактная группа (стр. 142) порядка 2 — это циклическая группа а единственными абстрактными группами порядка 4, как нетрудно показать, являются циклическая группа и четверная группа. Мы уже определили порядки всех элементов группы Q, и теперь это поможет нам найти все ее подгруппы. Используя граф группы как компактную запись таблицы умножения, выясняем, что единственный элемент группы Q, порядок которого равен 2; элемент конечно, имеет порядок 1, а остальные шесть элементов — порядок 4. Таким образом, группа Q содержит одну подгруппу, изоморфную циклической подгруппе и три подгруппы, изоморфные группе (порожденные элементами соответственно).

Остается еще выяснить, есть ли у группы Q подгруппы, изоморфные четверной группе. Ответ на этот вопрос отрицательный, поскольку мы знаем, что четверная группа содержит три различных элемента порядка 2 (стр. 96).

Мы утверждаем, что все подгруппы некоммутативной группы Q нормальны. Рассмотрим прежде всего единственную подгруппу порядка 2:

Будет ли она нормальной подгруппой? Да. Чтобы доказать это, построим гомоморфное отображение группы Q на группу Q, при котором Н отображается в единицу группы Q. Как и в примерах гл. 11, мы добавим соотношение, эквивалентное обращению в I всех элементов подгруппы Н (и только их). В данном случае это должно быть соотношение Расширенное множество соотношений

определяет факторгруппу Q.

Подгруппа Н будет нормальной подгруппой группы Q в том и только том случае, когда Q есть группа порядка 4, т. е. в том и только том случае, когда элементы группы Q есть смежные классы группы Q по подгруппе Н порядка 2. Но в определяющих соотношениях (1) группы Q мы сразу узнаем определяющие соотношения четверной группы, и поэтому подгруппа Н группы Q нормальна. Все циклические подгруппы порядка 4 также нормальны, поскольку порядок группы Q равен 2-4 (см. упр. 52, стр. 168). Таким образом, все подгруппы неабелевой группы Q являются нормальными.

Любая неабелева группа, все подгруппы которой нормальны, называется гамильтоновой группой. Группа кватернионов Q — это гамильтонова группа наименьшего возможного порядка (а именно порядка 8). Можно показать, что любая конечная гамильтонова группа получается из группы кватернионов и абелевых групп с помощью конструкции, называемой прямым произведением групп.