ГЛАВА 9. ОТОБРАЖЕНИЯ

Понятие группы тесно связано с понятием отображения или, вернее, множества отображений. Мы сейчас введем это понятие (являющееся основным для многих разделов современной математики), начав с рассмотрения некоторых простых примеров.

Слово «отображение» обычно означает «наглядное описание чего-нибудь». Смысл, в котором это слово употребляется в математике, довольно близок к тому значению, в котором оно используется в повседневной жизни. Это случается сравнительно редко — чаще всего математическое значение термина весьма далеко от его обыденного смысла. (Ср. термины «группа», «поле», «кольцо».)

Математическое понятие отображения возникло путем естественного абстрагирования из обычного понятия плана, например «плана города». В идеальном случае план — это такое изображение некоторого объекта (города) на листе бумаги, что для каждой точки этого объекта (города) имеется одна и только одна точка на бумаге в качестве ее копии. В математике понятие отображения во всех его вариантах основывается на понятии соответствия между элементами исходного объекта и элементами его образа.

Мы начнем изучение отображения с рассмотрения простого случая, когда отображается множество с конечным числом элементов. Пусть задано множество , состоящее из трех элементов, и множество , также состоящее из трех элементов.

Мы можем различными путями объединить элементы этих двух множеств в пары; например,

Здесь соответствующие элементы расположены один под другим, каждому верхнему элементу ставится в соответствие расположенный под ним элемент. Это соответствие и есть пример отображения одного множества на другое (X на Y). Вообще отображение множества X в множество Y определяется следующим образом: каждому элементу множества X ставится в соответствие в точности один элемент множества Y.

Рассмотренное выше отображение множества X на множество Y можно различными способами записать с помощью двух строк, заключенных в круглые скобки:

Это все записи одного и того же отображения множества X на множество Y, так как каждому элементу множества X всякий раз ставится в соответствие один и тот же элемент множества Y: а всегда отображается в r, b — в s и с — в

Имеются, однако, и другие отображения множества X на Y, существенно отличающиеся от приведенного выше; например,

Это отображение отлично от предыдущего, так как, хотя элемент с по-прежнему отображается в элемент t множества Y, элемент а отображается теперь в элемент s, а не в r, как это было в предыдущем случае.

С понятием отображения одного множества в другое связаны самые разнообразные термины и обозначения.

Некоторые из них нам будут необходимы, и мы их сейчас введем, надеясь, что читатель усвоит их постепенно в процессе чтения этой главы.

Мы продемонстрировали один из возможных способов записи отображения — с помощью двух строк, заключенных в скобки. В книге будут употребляться и другие способы записи отображений. Если читатель вспомнит наши первоначальные рассуждения о бинарной операции в группе, то он убедится, что групповую бинарную операцию можно рассматривать как отображение. Действительно, каждой упорядоченной паре элементов r и s группы ставится в соответствие единственный элемент t группы, такой, что

Таким образом, множество упорядоченных пар элементов группы отображается на группу. Таблица умножения группы полностью описывает это отображение. Первые элементы всех пар (r, s) записываются в столбце слева, вторые элементы — в строке сверху, а образ пары (r, s) при отображении записывается в соответствующем месте таблицы.

Для отображения множества X в множество У употребляется запись . Стрелки используются и для обозначения соответствия между отдельными элементами; так, в нашем первом примере Элемент r множества Y, сопоставляемый элементу а при отображении множества X, называется образом элемента а, элемент s — образом элемента b и t — образом элемента с. Множество X называется областью определения отображения, а совокупность всех элементов множества Y, являющихся образами элементов из множества X, называется областью значений отображения или образом множества X.

В этой книге мы будем в основном иметь дело со специальным классом отображений , при которых каждый элемент множества Y является образом по крайней мере одного элемента множества X, иначе говоря, когда образ множества X совпадает с множеством Y. Про такие отображения мы будем говорить, что они отображают множество X на множество Y.

Оба рассмотренных выше отображения являются отображениями такого типа. Возьмем теперь отображение

множества X в множество К. Это действительно отображение, так как каждому элементу множества X ставится в соответствие точно один элемент множества Y. Однако множество X при этом отображается не на все множество Y, так как элемент t из Y не является образом никакого элемента из множества X.

Рис. 9.1.

Отображение множества X в множество Y часто обозначается каким-нибудь символом, например тогда мы пишем

В этом случае означает, что , т. е. что образом элемента а является элемент r. Аналогично, образами элементов b и с являются элементы соответственно.

Понятие отображения одного множества в другое неявно используется всякий раз, когда мы строим график уравнения с двумя неизвестными. Рассмотрим, например, уравнение

и его график (рис. 9.1). Уравнение описывает отображение оси на ось у, так как ось абсцисс является его областью определения, а вся ось ординат — его областью значений. Рассматриваемое отображение можно записать в виде

Эта запись означает, что образом элемента является элемент у, где или

Каждой точке оси уравнение ставит в соответствие в точности одну точку оси у. Таким образом, каждому действительному числу ставится в соответствие в точности одно действительное число. Например, число переходит в число

Наряду с отображениями одного множества на другое можно рассматривать отображения множества на себя. Рассмотрим множество Одним из его отображений на себя является отображение

Оно ставит в соответствие каждому элементу множества X в точности один элемент этого же множества, и область определения этого отображения совпадает с его областью значений.

Рис. 9.2.

Обозначим данное отображение буквой М.

Предположим теперь, что а, b, с — вершины равностороннего треугольника. Отображение М можно интерпретировать как опрокидывание этого треугольника относительно высоты, проходящей через вершину с (рис. 9.2). Мы покажем, что два таких последовательных опрокидывания можно рассмотреть как «последовательное выполнение» двух отображений М и представить такую суперпозицию отображений как одно отображение.

Спросим себя сначала: что означает «последовательное выполнение» двух отображений:

Напомним, что одно и то же отображение можно записать с помощью двух строк, заключенных в круглые скобки, разными способами.

Например, М можно представить в виде

Заметим, что верхняя строка при такой записи совпадает с нижней строкой при первоначальной записи отображения М. Поставленный выше вопрос можно теперь переписать так:

Первый сомножитель показывает, что а b, а второй — что . В конечном счете получаем

Рис. 9.3

т. е. элемент а переходит в себя. Аналогично затем и в результате . Наконец, затем результате . Итак, мы можем написать

и сделать вывод, что в результате последовательного выполнения двух отображений М получается отображение, которое каждому элементу ставит в соответствие сам этот элемент. Отображение, обладающее таким свойством, называется тождественным отображением и обозначается через

Возвращаясь к геометрической интерпретации отображения видим, что I соответствует двум последовательным опрокидываниям треугольника относительно высоты, проходящей через вершину в результате которых треугольник возвращается в свое исходное положение (рис. 9.3).

Уравнение или дает другой пример тождественного отображения. Из графика этого уравнения (рис. 9.4) видно, что каждое число отображается само в себя.

Рис. 9.4.