ГЛАВА 11. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ

Мы займемся теперь гомоморфными отображениями группы, обращая особое внимание на то, как действует отображение на подгруппах группы.

В развитии и применении теории групп особую роль играли некоторые подгруппы специального вида. В 1830 г. Галуа, занимаясь исследованием корней алгебраических уравнений, выявил значение этих особых подгрупп, так называемых нормальных (или самосопряженных, или инвариантных) подгрупп. Он показал, что каждому алгебраическому уравнению соответствует группа конечного порядка, а природа корней уравнения зависит от того, каковы нормальные подгруппы этой группы, т. е. в основе изучения свойств решений соответствующего алгебраического уравнения лежит рассмотрение нормальных подгрупп.

Исследуем нормальные подгруппы с двух точек зрения: (1) с точки зрения гомоморфных отображений, (2) с точки зрения разбиения группы на смежные классы по нормальной подгруппе. Как мы увидим, оба эти подхода соответствуют различным аспектам одного и того же основного структурного свойства.

Первый подход опирается на выявление ряда соотношений между элементами группы путем «вычислений», опирающихся на групповые аксиомы. Мы уже проводили подобные вычисления, когда, например, решали групповые уравнения и получали определяющие соотношения группы.

Нормальные подгруппы и гомоморфные отображения.

Начнем исследование нормальных подгрупп с рассмотрения некоторых групповых гомоморфизмов.

Рис. 11.1. Группа диэдра D3 с элементами и определяющими соотношениями

Мы потребуем, чтобы эти гомоморфизмы отображали некоторые специальные подгруппы в единицу группы-образа, и посмотрим, к каким результатам приведут эти условия.

Конкретно, рассмотрим группу диэдра порядка 6 (рис. 11.1). Эта группа имеет подгруппу b). Предположим, что f — гомоморфное отображение группы на группу G, такое, что все элементы подгруппы Н переходят в I группы G, т. е.

Посмотрим, во что при гомоморфизме f переходят элементы, не принадлежащие подгруппе H. Мы утверждаем, что

Действительно,

Так как f — гомоморфизм, то для любых элементов r и s этой группы

следовательно,

как и утверждалось. Поэтому

так что каждый элемент группы отображается в I. Это доказывает, что любой гомоморфизм группы который переводит подгруппу Н в I, отображает в I всю группу

Рассмотрим теперь гомоморфизм группы в группу G, который переводит в некоторую другую подгруппу, скажем подгруппу Из соотношений

следует, что

и этот гомоморфизм можно представить в виде

где

то множество, состоящее из элементов и с, является циклической группой второго порядка.

Таким образом, гомоморфное отображение группы которое переводит подгруппу К в I, не обязательно отображает в I всю группу оно может отображать группу на циклическую группу второго порядка.

Эти результаты показывают, что между подгруппами К и Н в имеется существенное различие. В дальнейшем мы увидим, что подгруппа К действительно обладает некоторой особенностью, которую можно охарактеризовать как «неизменяемость» (инвариантность) некоторого связанного с ней объекта, в то время как соответствующий объект подгруппы Н будет «изменяемым»; в связи с этим подгруппу К называют нормальной, или инвариантной. Изучить существенные свойства нормальных подгрупп нам поможет рассмотрение смежных классов по таким подгруппам.

В гл. 8 мы уже имели дело со смежными классами по подгруппе и выписали все левые и правые смежные классы группы диэдра порядка 6 по подгруппе Н. Было отмечено, что классы и На не совпадают (как множества) (стр. 117); левый смежный класс — это множество

а правый смежный класс На — это множество

Что можно сказать о левых и правых смежных классах группы по подгруппе К порядка 3? Вот они:

Левые и правые смежные классы по подгруппе К совпадают, т. е. .

Гомоморфное отображение f группы на циклическую группу порядка 2 действует следующим образом:

На рис, 11.2 значком О отмечены те элементы группы диэдра которые принадлежат смежному классу К, а значком элементы, которые принадлежат смежному классу ЬК.

Рис. 11.2.

На рис. 11.3 одинаковыми значками обозначены элементы, принадлежащие одному и тому же левому или правому смежному классу группы по подгруппе H.

Рис. 11.3. На левом рисунке, отвечающем левым смежным классам, символом О обозначены элементы из H, символом — элементы из и символом — элементы из На правом рисунке, отвечающем правым смежным классам, символом О обозначены элементы из Н, символом — элементы из На и символом — элементы из

Из этого примера видно, что представление группы в виде объединения смежных классов по К остается неизменным, иначе, инвариантным, вне зависимости от того, представляется ли группа в виде объединения левых или правых смежных классов.

Вообще подгруппа К группы G называется нормальной, или инвариантной, если каждый левый смежный класс группы G по К совпадает с соответствующим правым классом Отметим, в частности, что подгруппа, состоящая из одного элемента нормальна, поскольку для каждого элемента g группы G классы совпадают (каждый из них состоит из единственного элемента g).

Вся группа G также является своей нормальной подгруппой, поскольку любой левый смежный класс и любой правый смежный класс совпадает со всей группой

В следующей теореме устанавливается связь между нормальными подгруппами и гомоморфными отображениями.

Теорема 6. Пусть f — гомоморфное отображение группы G на группу тогда множество К всех таких элементов группы G, что (где I — единица группы является нормальной подгруппой группы

Доказательство. Убедимся сначала, что К является подгруппой группы G. Для этого проверим выполнение двух указанных на стр. 107 условий, которым должна удовлетворять подгруппа. Затем докажем, что подгруппа К нормальна.

(1) Замкнутость. Нужно показать, что если — два произвольных элемента из , то также принадлежит К. Для этого покажем, что если , то . Поскольку — гомоморфизм,

Тем самым доказана замкнутость множества К.

(2) Обратимость. Покажем, что если элемент принадлежит множеству К, то его обратный также принадлежит , т. е. если то и Так как — гомоморфизм, то (см. упр. 37, стр. 137) и

Таким образом, для К выполняется свойство обратимости.

Теперь докажем, что К является нормальной подгруппой группы G. Для этого мы должны показать, что для любого элемента у группы G.

(Напомним, что определение нормальной подгруппы содержит лишь требование совпадения левых и правых смежных классов по этой подгруппе.)

Пусть — произвольный, но фиксированный элемент подгруппы К. Тогда у является элементом смежного класса

Мы хотим показать, что элемент принадлежит смежному классу

для этого решим относительно уравнение

и покажем, что z является элементом подгруппы К. Элемент

является решением этого уравнения, и остается лишь показать, что Но

Таким образом, принадлежит подгруппе К. Так как — произвольный элемент смежного класса , то мы доказали, что каждый элемент из смежного класса принадлежит смежному классу

Аналогично, если — произвольный элемент смежного класса , то мы можем показать, что принадлежит смежному классу Для этого нужно лишь решить относительно z уравнение а затем проверить, что является элементом подгруппы . Отсюда будет следовать, что каждый элемент смежного класса у К принадлежит Таким образом,

Подгруппы абелевой группы нормальны. Пусть К — нормальная подгруппа группы G. Внешний вид соотношения наводит на мысль о том, что речь идет о некоторой разновидности коммутативности. Интересующее нас свойство можно сформулировать следующим образом: для произвольного элемента у группы G и любого элемента подгруппы К можно найти элемент из такой, что

Из этого свойства вытекает, что каждая подгруппа абелевой, коммутативной, группы нормальна; действительно, в абелевой группе для любых двух ее элементов у и Х

и, таким образом, .

Упражнение 52. Докажите, что если порядок группы G равен где — целое число, и Н — подгруппа порядка n группы G, то Н — ее нормальная подгруппа.

Упражнение 53. Пусть группа G состоит из элементов Пусть, далее, обозначает любой из этих элементов; рассмотрим множество

Докажите, что множество S содержит все элементы группы G. (Элемент называется сопряженным к элементу с помощью элемента )

Упражнение 54. Пусть х и у — любые два элемента некоторой группы, такие, что Каким из известных нам ранее свойств обладает такая пара элементов? (Элемент называется самосопряженным с помощью у.)

Упражнение 55. Пусть К — нормальная подгруппа группы G, причем К состоит из элементов . Пусть, далее, g — произвольный элемент группы G. Рассмотрим множество Докажите, что множества S и К совпадают. (Выражая это свойство, мы будем говорить, что нормальная подгруппа самосопряжена.)

Обращение теоремы 6 (факторгруппа). Когда математик завершает доказательство некоторой теоремы, он автоматически задает себе новый вопрос: верно ли обратное утверждение? Ответ на этот вопрос для теоремы 6 содержит неожиданный дополнительный результат — своего рода «премию» — в процессе доказательства возникает новый тип групп, называемых факторгруппами. Сформулируем теорему, обратную к теореме 6 (которая и в самом деле оказывается справедливой).

Теорема 7. Пусть задана нормальная подгруппа К группы G. Тогда существуют группа Н и гомоморфное отображение f группы G на группу Н, такие, что все элементы группы и только они, переходят при f в единицу группы Н.

В следующем разделе мы построим пример группы, связанной с группами G и К так, как это описано в теореме 7, и тем самым убедимся, что группа Н «существует». Такую группу называют факторгруппой группы G по подгруппе К и обозначают через . Мы увидим, что элементами группы являются множества элементов, а именно смежные классы группы G по подгруппе К.

Отметим, что эта теорема позволяет установить, может ли элемент принадлежать хотя бы одной нормальной подгруппе, не совпадающей со всей группой. Нужно лишь выяснить, какие следствия вытекают из предположения о существовании гомоморфизма f, при котором Если любое отображение удовлетворяющее условию переводит в I все элементы группы, то не является элементом никакой собственной нормальной подгруппы.