ГЛАВА 4. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ГРУППЫ

Нам нужно теперь рассмотреть следующую проблему: каким образом можно задать конкретную группу? Иными словами, какое количество информации необходимо для того, чтобы можно было задать груплу как единый математический объект? И как выявить те данные, которые позволяют определить ту или иную конкретную группу?

Ответ на эти вопросы был дан Кэли в 1854 г., когда он ввел таблицу умножения группы. Она похожа на привычную арифметическую таблицу умножения. Элементы группы располагаются в верхней строке и в том же порядке в левом столбце таблицы, а внутри нее размещаются произведения элементов.

Рассмотрим сначала группу порядка 2, состоящую из двух элементов, , с обычным умножением в качестве бинарной операции. В табл. 4.1 содержатся все возможные произведения двух элементов нашей группы. Так как, обычное умножение коммутативно, любые два элемента этой группы перестановочны между собой.

Таблица 4.1

Далее, построим таблицу умножения для группы самосовмещений равностороннего треугольника на плоскости (см. пример 5, стр. 26).

Используя символы I, а, b для обозначения трех элементов этой группы, мы запишем сами элементы и их произведения в виде табл. 4.2. Тут следует сделать ряд пояснений и упрощений. Мы не можем считать заранее заданным, что любые два элемента нашей группы коммутируют между собой. Поэтому сомножители в каждом произведении мы пишем в том порядке, в котором выполняется умножение: первым ставится сомножитель из левого столбца, а вторым — из верхней строки.

Таблица 4.2

Напомним, что, подробно изучив эту группу, мы вывели такие соотношения:

(см. стр. 33).

Используя эти результаты и свойства единицы I, мы можем записать таблицу умножения в следующем виде:

Таблица 4.3

Многие свойства рассматриваемой группы вращений можно извлечь прямо из этой таблицы умножения.

Обратные элементы можно найти, проследив, на пересечении каких строк и столбцов встречается в таблице элемент I. Отметим интересное «совпадение»: строки таблицы являются перестановками верхней строки, а столбцы — перестановками левого столбца.

Таблица показывает также, что все элементы группы попарно перестановочны, так как все произведения, расположенные симметрично относительно главной диагонали, совпадают. Главная диагональ проходит из левого верхнего угла в правый нижний и в нашем случае выглядит так:

В любой таблице умножения симметрично по отношению к произведению располагается произведение . Мы называем группу коммутативной, если любые два ее элемента перестановочны. Таким образом, мы можем сказать, что конечная группа коммутативна тогда и только тогда, когда ее таблица умножения обладает тем свойством, что произведения, расположенные симметрично относительно главной диагонали, представляют собой один и тот же элемент группы.

Существует важное свойство группы самосовмещений равностороннего треугольника, которое нельзя извлечь из таблицы умножения в ее теперешнем виде. Однако оно станет очевидным, если мы введем новые обозначения и используем их для того, чтобы придать таблице иную форму.

В соответствии с представлением, что групповое умножение является обобщением обычного умножения, мы будем обозначать элемент группы через — через в общем случае произведение k экземпляров элемента а — через

Аналогично мы будем писать вместо и произведение k экземпляров элемента будем обозначать через . Так как естественно определить Элемент группы, где - произвольное целое число, мы будем называть степенью элемента а. Читатель может проверить для себя, что обычные правила умножения степеней сохраняются и для группового умножения степеней элемента группы.

Используя полученные раньше результаты, убеждаемся, что

так что таблица умножения данной группы может быть представлена в виде табл. 4.4. В этой последней форме таблица показывает, что любой элемент этой группы есть степень одного элемента а. Группа с таким свойством называется порожденной элементом а, а сам этот элемент называют образующей группы,

Таблица 4.4

Подробнее это понятие мы рассмотрим позже, в главе об образующих группы.