Группа с двумя образующими.

Таблица умножения группы самосовмещений равностороннего треугольника является примером группы с двумя образующими: вращением и опрокидыванием f. Элементами этой группы (стр. 47) являются

где каждый элемент первой строки получается из соседнего слева (справа) умножением справа на (или ), а элементы второй строки получаются из элементов первой умножением слева на Это наводит на мысль, что для графа этой группы надо использовать два треугольника, соединенные отрезками, соответствующими образующей f (рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Мы отличаем на графе образующую от образующей используя непрерывную линию для умножения на и пунктирную для умножения на f. Сам Кэли предлагал различные образующие выделять различными цветами и называл этот процесс графического представления методом цветных групп.

В качестве следствия того факта, что рассматриваемая группа имеет две образующие, мы получаем, что любой путь нашего графа может быть описан последовательностью, содержащей лишь символы из множества

Примерами таких последовательностей являются

которые мы, как и раньше, будем называть словами.

Конечно, каждое слово от образующих и их обратных является элементом группы или, говоря точнее, представляет элемент группы.

Читателю следует проверить, что произведение любых двух элементов, определенное с помощью таблицы умножения этой группы (стр. 48), совпадает с произведением, полученным с помощью графа, изображенного на рис. 6.7.

РИС. 6.8;

Рис. 6.9.

Чтобы, например, проверить равенство пройдем сначала - отрезок, выходящий из , а затем f - отрезок, входящий в вершину, помеченную символом (рис. 6.8). Путь на рис. 6.9 показывает, что