ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце восемнадцатого века. В течение первых десятилетий девятнадцатого века она развивалась медленно и практически не привлекала к себе внимания. Но затем, около 1830 года, благодаря работам Галуа и Абеля о разрешимости алгебраических уравнений всего за несколько лет она совершила гигантский скачок, который оказал глубокое влияние на развитие всей математики.

С тех пор основные понятия теории групп стали детально исследоваться. Постепенно они проникли во многие разделы математики и нашли применение в таких различных областях знания, как, например, квантовая механика, кристаллография и теория узлов.

Эта книга посвящена группам и их графическому представлению. Наша первая задача — выяснить, что же такое «группа».

Основная идея дальнейших рассмотрений, проникающая в самую сущность понятия группы, связана с концепцией структуры. Перед читателем развернется ряд примеров и пояснений, определений и теорем, варьирующих одну основную тему — как группы и их графы представляют и иллюстрируют одну из разновидностей математической структуры.

До сих пор мы употребляли слово «группа», не давая читателю ни малейшего намека на то, что же оно может означать. Если дать сразу полное формальное определение, то читатель, вероятно, останется в таком же недоумении, как и прежде.

Поэтому мы будем развивать понятие группы постепенно и начнем с двух примеров. (Читателю следует помнить о них во время дальнейшего первоначального обсуждения структурных признаков группы.)

Группа А: Множество всех целых чисел, рассматриваемых как числа, которые можно складывать одно с другим. Другими словами, элементами группы А являются целые числа , и единственная операция, которую мы сейчас рассматриваем, — это сложение любых двух элементов указанного множества; например, .

Группа В: Множество всех положительных рациональных чисел, рассматриваемых как числа, которые можно умножать одно на другое. В этом случае элементами множества являются все числа, которые можно представить в виде , где а и b — положительные целые числа, и единственная операция, которую мы здесь рассматриваем, — это умножение любых двух элементов данного множества; например,

Теперь читатель познакомился с примерами групп, но, вероятно, все еще не слишком приблизился к пониманию того, что же такое группа, поскольку, быть может, не смог сразу выделить в этих примерах то существенное, что определяет группу. В приведенном описании групп А и В некоторые слова были выделены курсивом, чтобы подчеркнуть основные структурные признаки, присущие всем группам, а именно: 1) наличие множества элементов и 2) наличие бинарной операции:

Мы назвали операции в группах А я В бинарными, поскольку в каждой из них участвуют одновременно два элемента.

Бинарная операция на множестве — это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент этого же множества. Так, в группе А сложение есть бинарная операция на множестве целых чисел; в самом деле, если — любые два элемента этого множества, то также является элементом этого множества. Обозначив элемент символом t, можно перефразировать это следующим образом: если — два произвольных элемента множества, то существует один и только один элемент t того же множества, такой, что Например, если выбрать в нашем множестве два элемента, 2 и 5, то в нем найдется единственный элемент 7, такой, что .

Умножение есть бинарная операция в группе В. Действительно, если — любые два элемента данного множества (положительных рациональных чисел), то существует один и только один элемент t этого множества, такой, что . (Единственность элемента t следует из того факта, что эквивалентные рациональные числа, такие, как и у, представляют собой одно и то же число.) Если в нашем множестве выбрать два элемента, например j и то в нем найдется единственный элемент такой, что

Заметим, что понятие бинарной операции неразрывно связано с множеством, на котором она определена. Вот почему мы говорим: «бинарная операция на множестве». Два элемента и третий элемент, который сопоставляется им посредством бинарной операции, должны быть элементами одного и того же множества. Итак, мы видим, что два основных признака, характеризующих группу, — это наличие (1) множества элементов, (2) бинарной операции на этом множестве.

И хотя они тесно переплетены и неразделимы, иногда оказывается удобным переносить центр внимания с одного признака на другой.

Рассмотренные нами примеры групповых операций — это обычное сложение целых чисел, обозначаемое символом и умножение положительных рациональных чисел, обозначаемое символом . В дальнейшем мы увидим, что существует много различных бинарных операций, связанных с разными группами, но иногда будет удобно пользоваться каким-то одним символом для произвольной бинарной операции. Для этой цели мы будем использовать символ .

Это обозначение позволяет нам следующим образом описать выявленные у групп А и В структурные признаки (1) и (2): задано множество и бинарная операция на . Если и s — два произвольных элемента множества , то в S существует единственный элемент такой, что

Для группы А символ обозначает операцию «сложение целых чисел», для группы В — «умножение положительных рациональных чисел».

Чтобы подчеркнуть ту мысль, что бинарная операция есть соответствие, можно описать рассмотренные выше группы еще одним способом. В случае группы А мы можем сказать, что любой паре и s целых чисел соответствует однозначно определенное целое число и записать это так:

где стрелка означает «соответствует». В случае группы В мы можем сказать, что любой паре и s положительных рациональных чисел соответствует однозначно определенное положительное рациональное число

Чтобы расширить наше представление о бинарных операциях на множестве, рассмотрим следующий вопрос: может ли бинарная операция на множестве быть бинарной операцией и на подмножестве? (Назовем множество U подмножеством множества S, если любой элемент множества U является элементом множества S.)

Например, пусть S — множество всех положительных рациональных чисел, a U — его подмножество, состоящее из положительных целых чисел. Выясним сначала, будет ли деление бинарной операцией на множестве S. Читатель может без труда убедиться, что деление является бинарной операцией на множестве S положительных рациональных чисел: для любых двух положительных рациональных чисел r и s существует единственное положительное рациональное число такое, что

Теперь посмотрим, будет ли деление — бинарная операция на множестве 5 — бинарной операцией и на подмножестве U положительных целых чисел. Очевидно, что если взять два таких элемента множества , как, например, 2 и 3, то для них не существует положительного целого числа для которого

Следовательно, деление не является бинарной операцией на подмножестве U положительных целых чисел, так как существуют пары положительных целых чисел, которым не соответствует никакое третье положительное целое число.

В противоположность только что описанной ситуации рассмотрим множество S всех целых чисел и подмножество U всех четных чисел. Мы уже видели, что сложение есть бинарная операция на множестве S всех целых чисел. Что же будет происходить, если применять операцию сложения к элементам множества четных чисел? Если сложить два четных числа, то в результате снова получится четное число. Иными словами, сложение является бинарной операцией на подмножестве U четных чисел. Если сложить два элемента из подмножества U, то их сумма тоже будет принадлежать этому подмножеству. Это свойство можно выразить иначе: подмножество U четных чисел замкнуто относительно бинарной операции сложения.

Читатель может проверить, что подмножество Т нечетных чисел не замкнуто относительно этой операции.

Опишем свойство замкнутости подмножества относительно бинарной операции следующим, более общим образом: если 0 — бинарная операция на множестве S и U - подмножество множества S, обладающее тем свойством, что для любых элементов и и v подмножества U элемент также принадлежит U, то подмножество U называется замкнутым относительно бинарной операции . Термин «замкнутый» отражает то обстоятельство, что операция , рассматриваемая лишь на парах элементов из U, не выводит нас за пределы подмножества U, т. е. можно рассматривать как бинарную операцию на множестве U.

В гл. 8 мы увидим, что свойство замкнутости подмножества относительно бинарной операции играет главную роль при изучении подгрупп.

Упражнение 1. (а) Является ли сложение бинарной операцией на множестве нечетных положительных чисел? (Ь) Будет ли умножение бинарной операцией на указанном в п. (а) множестве? (с) Пусть рассматриваемое множество состоит из следующих элементов: , где Будет ли сложение бинарной операцией на этом множестве? (d) Будет ли умножение бинарной операцией на множестве, указанном в п. (с)?

До сих пор мы видели, что группа — это множество с заданной на нем бинарной операцией. Если r и s — два произвольных элемента данного множества, то существует однозначно определенный элемент t того же множества, такой, что

Выражение — два произвольных элемента данного множества» не исключает из рассмотрения случая, когда и s совпадают (т. е. представляют собой один и тот же элемент). Не предполагается также, что элементы и s берутся в каком-то определенном порядке.

Таким образом, если — два произвольных элемента данного множества, то

также являются элементами этого множества (не обязательно, чтобы все они были различными).

Возникает вопрос: могут ли в некоторой группе быть различными элементами исходного множества? В группах А и В, очевидно, всегда справедливо равенство Например, в группе А имеем а в группе В имеем

Но в множестве положительных рациональных чисел, где в качестве бинарной операции рассматривается деление, имеем, например, ? Вообще в этом множестве при Значит порядок, в котором берутся элементы, существен; в некоторых множествах перестановка элементов приводит к изменению результата, т. е. возможен случай, когда

где — элементы данной группы и

В случае, когда мы говорим, что элементы и s перестановочны, или коммутируют между собой (относительно данной операции ); если , то мы говорим, что элементы - перестановочны, или коммутируют между собой (относительно данной операции). Впредь мы не должны заранее считать само собой разумеющимся, что при данной операции упорядоченной паре соответствует тот же элемент, что и упорядоченной паре . В каждом случае нужно отдельно разбирать, будут ли элементы перестановочными.

В связи с тем что в общем случае необходимо различать элементы , мы следующим образом уточним характеризацию множества с заданной на нем бинарной операцией: для любой упорядоченной пары элементов и s данного множества существует единственный элемент t того же множества, такой, что

До сих пор рассматривались примеры лишь таких множеств с заданной на них бинарной операцией, элементами которых служат числа, а бинарными операциями — обычные арифметические действия. Но в дальнейшем мы увидим, что элементами группы могут быть и нечисловые объекты, такие, как движения, перестановки, функции, геометрические преобразования или вообще множества каких-либо символов. В этих случаях бинарная операция может оказаться и не связанной с действиями над числами.

Рис. 1.1.

Например, рассмотрим квадрат, который может свободно вращаться в своей плоскости вокруг оси, проходящей через его центр. Будем считать допустимыми лишь те вращения, в результате которых повернутый квадрат совмещается с исходным. Одно из допустимых вращений — это поворот на 90° по часовой стрелке (рис. 1.1). Обозначим это вращение через а. Вот некоторые другие допустимые вращения: (1) вращение на 180° по часовой стрелке, которое мы обозначим через b, и (2) вращение на 270° по часовой стрелке, которое мы обозначим через с.

Будем рассматривать эти вращения а, b и с как возможные элементы некоторой группы. Удастся ли нам так определить бинарную операцию, чтобы имело смысл равенство ? Вот один из способов рассуждения:

или

или

Эту операцию, которая сопоставляет двум элементам а и b элемент с, мы будем называть суперпозицией или операцией последовательного выполнения. Такая операция имеет смысл для вращений. Мы увидим в дальнейшем, что она может иметь смысл и для объектов другого рода.

Упражнение 2. Какое вращение из множества вращений квадрата представляет собой элемент при только что определенной операции последовательного выполнения? Какое вращение представляет собой элемент ?