Группа диэдра.

Рассмотрим множество таких движений квадрата, в результате которых он совмещается с самим собой — множество самосовмещений квадрата.

Как подсказывает нам случай равностороннего треугольника, образующими движениями будут: r — вращение на 90° в плоскости квадрата и f — опрокидывание относительно диагонали квадрата (на 180°). Эти движения наводят на мысль о трехмерном представлении, изображенном на рис. 6.16. Этот граф является диаграммой Кэли группы порядка 8 с образующими такими, что . Он обладает всеми свойствами, которыми должна обладать сеть, чтобы она была графом группы.

Рис. 6.16.

Рис. 6.17.

Если мы продеформируем ее в двухмерную сеть, то получим рис. 6.17.

Аналогия со случаем равностороннего треугольника совершенно ясна, и эти рассуждения очевидным образом распространяются на случай группы самосовмещений любого правильного многоугольника.

Группа самосовмещений правильного многоугольника называется группой диэдра. Слово «диэдр» — «двугранник» — наводит на мысль о двух плоскостях, и, действительно, трехмерный вариант диаграммы Кэли группы, диэдра представляет собой два плоских многоугольника, у которых соответствующие вершины связаны отрезками, обозначающими «опрокидывание». Здесь и в дальнейшем мы будем использовать для обозначения групп диэдра символ D с нижним индексом, чтобы обозначить число вершин в многоугольнике, ассоциированном с данной группой. Таким образом, группа диэдра порядка 6 равностороннего треугольника будет обозначаться через а группа диэдра порядка 8 квадрата — через Для общего случая группы диэдра, ассоциированной с правильным -угольником, мы будем употреблять обозначение

Ясно, что есть группа порядка

Граф группы с образующей порядка 2 можно несколько упростить. Так как «опрокидывающий» элемент группы диэдра имеет порядок 2, то можно проиллюстрировать это упрощение на ее графе; однако можно было бы это сделать и для графа любой другой группы с образующей порядка 2.

Рис. 6.18.

Все графы, в которые входит образующая порядка 2, скажем f, в каждой вершине содержат «петлю», составленную из -дуг. Условимся заменить каждую такую петлю одним отрезком, который будет обозначать одновременно и образующую f и обратный к ней элемент Мы откажемся тогда от обычной стрелки на этом отрезке, и с этого момента отрезок без стрелки будет соответствовать образующей порядка 2. Так как для элемента порядка то прохождение этого отрезка в каком-либо направлении означает умножение справа на f или . Графы групп диэдра упрощенные согласно изложенному выше принципу, изображены на рис. 6.18. Отметим еще раз, что образующая r, порядок которой больше 2, представляется отрезками со стрелкой, в то время как отрезки, соответствующие образующей порядка 2, стрелки не имеют.