Знакопеременные группы.

Множество всех четных подстановок на множестве из n символов представляет особенный интерес. Ясно, что это подмножество симметрической группы . Мы утверждаем, что является подгруппой группы . Чтобы доказать это, проверим, что удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу.

(1) Замкнутость. Если — подстановки из представимые в виде произведений транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если — четные числа, то и четно, откуда можно заключить, что подстановка четная и, следовательно, эта подстановка принадлежит

(2) Обратимость. Подстановка имеет обратную (в группе ); можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку — четная подстановка. Значит, если — четная подстановка, то также должна быть четной, т. е. у каждого элемента из группы есть обратный в

Подгруппа группы называется знакопеременной группой. Причины такого названия станут ясными в скором времени, когда мы обратимся к знакопеременным многочленам.

Порядок группы равен (см. стр. 189). Мы утверждаем, что порядок группы равен , т. е. содержит четных подстановок и нечетных.

Доказательство. Пусть а — транспозиция из симметрической группы скажем . Умножим каждый элемент группы слева на . В результате мы снова получим множество всех элементов из 5 и ни один из них не повторяется дважды. (Это доказано в теореме 1, стр. 53.) Но произведение любой четной подстановки из и элемента (1 2) является нечетной подстановкой, а произведение нечетной подстановки и элемента (1 2) является четной подстановкой. Множество нечетных подстановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных подстановок одинаково.

Следовательно, порядок группы равен как и утверждалось.

В упр. 52 было доказано, что если G — группа порядка и Н — ее подгруппа порядка то последняя будет нормальной подгруппой группы G. Так как порядок группы равен а порядок группы равен то знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы . Мы уже отмечали, что симметрические группы и нормальные подгруппы играют важную роль в теории Галуа о разрешимости алгебраических уравнений. Теоремы о строении знакопеременных групп — одна из основных составных частей этой теории.

Геометрическая реализация группы Симметрическая группа изоморфна группе диэдра ; см. стр. 188.

Поэтому можно представлять геометрически как симметрии или самосовмещения равностороннего треугольника; — подгруппа порядка которая содержит все четные подстановки группы . Положения треугольника, изображенные на рис. 13.3 в верхнем ряду, соответствуют четным подстановкам, т. е. произведениям четного числа транспозиций вершин треугольника. Читатель может каждую транспозицию вершин представлять себе как опрокидывание треугольника относительно некоторой подходящей высоты. Положения треугольника, изображенные в верхней части рисунка, являются результатом четного числа опрокидываний, а положения в нижней части — результатом нечетного числа опрокидываний.

Рис. 13.3.

Знакопеременные многочлены. Существует тесная связь между знакопеременными группами и знакопеременными многочленами. В предыдущих рассуждениях о нечетных и четных подстановках мы ввели знакопеременный многочлен . В качестве примера знакопеременного многочлена от двух переменных рассмотрим многочлен

Если мы переставляем нечетное число раз, то многочлен преобразуется в если же меняются местами четное число раз, то многочлен не меняется.

Совокупность всех подстановок на множестве из двух переменных является симметрической группой и мы можем следующим образом переформулировать наше утверждение относительно многочлена многочлен инвариантен относительно подстановок из знакопеременной группы и преобразуется в многочлен под действием нечетных подстановок из группы

Этот результат можно обобщить на случай знакопеременного многочлена от переменных, где

Многочлен инвариантен относительно подстановок из знакопеременной группы и преобразуется в многочлен под действием нечетных подстановок из группы

Мы закончим этот раздел, посвященный знакопеременным группам, кратким обсуждением интересных свойств группы группы тетраэдра (см. стр. 155). В основном нас будет интересовать утверждение, обратное к теореме Лагранжа. На стр. 120 мы поставили такой вопрос: если порядок группы G равен g, a А — делитель числа g, то обязательно ли группа G имеет подгруппу порядка А? Группу можно использовать для доказательства того факта, что это обращение не верно. Эта группа имеет порядок 12, но в ней нет подгрупп порядка 6. Таким образом, утверждение, обратное к теореме Лагранжа, не верно.

Однако некоторое достаточное условие для того, чтобы группа G порядка g имела подгруппу порядка А, где А — делитель числа g, указывается в следующей теореме Силова.

Пусть G — группа порядка g и А — делитель числа если где — простое число, — положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка А.

Порядок группы равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем лишь утверждать, что группа содержит подгруппы порядка и 3, но ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Мы наметим основные шаги доказательства того факта, что группа не содержит подгруппы порядка 6. Читателю предлагается воспроизвести недостающие детали.

(1) Все элементы группы (кроме элемента I) имеют порядок 2 или 3. [Указание: рассмотрите представление каждого элемента с помощью циклов, см. упр. 62.]

(2) Ни один из элементов порядка 3 не принадлежит нормальной подгруппе. [Указание: покажите, что любой гомоморфизм, который отображает элемент порядка 3 группы обязательно отображает в всю группу

(3) Множество элементов порядка 2 из группы составляет четверную группу (порядка 4).

(4) Так как любая собственная нормальная подгруппа группы содержит только элементы порядка 2, то максимальный возможный порядок такой нормальной подгруппы равен четырем.

(5) Группа не имеет подгрупп порядка 6.

Упражнение 61. Докажите утверждение из п. (5), т. е. докажите, что группа не имеет подгрупп порядка 6. (Разумеется, можно использовать результаты предыдущих четырех пунктов.)

Упражнение 62. Рассмотрите подстановки на множестве символов а, b, с, d. Докажите, что (а) если х = (а b с), то если х = (а b) (с d), то [Это упражнение связано с утверждением из п. (1); см. выше.]

В вопросах разрешимости алгебраических уравнений важную роль играет группа знакопеременная группа на пяти символах. Это группа икосаэдра, наименьшая неабелева группа, не содержащая собственных нормальных подгрупп. Некоторые сведения о группе и ее графе читатель найдет в приложении.