ГЛАВА 5. ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ

Хотя из таблицы умножения группы можно извлечь все то, что мы хотим знать о группе, поскольку в ней указаны все попарные произведения элементов группы, можно предвидеть ряд трудностей, которые возникнут при любой попытке неограниченно расширить область ее применения. Представьте себе, например, что вам нужно проанализировать группу порядка 60 с помощью ее таблицы умножения.

Возвратимся к понятию образующей. Оно позволяет описывать группу способом, не зависящим от ее порядка. Кроме того, понятие образующей группы будет играть основную роль при переходе к осуществлению одной из основных наших целей — графическому представлению групп.

Пусть а и b — элементы некоторой группы. Тогда, согласно аксиоме об обратных элементах, также являются элементами данной группы наряду с и т. д. Любое произведение, которое можно записать, используя в качестве сомножителей элементы в любом порядке и в любом конечном числе, является элементом этой группы, согласно определению бинарной операции. Если все элементы группы можно записать в виде произведений, включающих лишь а и b (и их обратные), то мы назовем а и b образующими (или образующими элементами) группы. Мы можем распространить это понятие образующих на множество из более чем двух элементов. Если S — множество элементов группы

и если все элементы группы G могут быть выражены в виде произведений элементов из S (и их обратных), то мы назовем элементы множества S образующими группы

Простейший случай — это группа с одной образующей, скажем все ее элементы могут быть представлены как произведения, содержащие в качестве сомножителей а и Мы уже сталкивались с группой, порожденной одним элементом: группа вращений треугольника в его плоскости имеет таблицу умножения 5.1 (см. стр. 38—39), и так как , то ясно, что каждый из трех элементов группы является произведением, содержащим в качестве сомножителей лишь а и .

Таблица 5.1