Циклические группы.

Мы получим одно из существенных свойств группы вращений треугольника, если выпишем степени образующей а:

Так как , то эту последовательность можно переписать так:

Она представляет собой циклическое повторение основной серии . Именно по этой причине данная группа называется циклической группой порядка 3.

Можно определить циклическую группу любого порядка: если любой элемент группы выражается в виде степени единственной образующей, то группа называется циклической.

Обычно мы будем использовать для обозначения циклической группы букву С, а ее порядок обозначать числом в нижнем индексе. Таким образом, обозначает циклическую группу порядка 3, а — циклическую группу порядка .

Если — наименьшее целое положительное число, для которого то группа, порожденная элементом а, будет иметь порядок n. Наименьшая положительная степень , такая, что называется порядком или периодом элемента а. Например, в описанной выше циклической группе выполняются соотношения и т.д.

Рис. 5.1.

Так как и 3 — наименьшая положительная степень, для которой то мы говорим, что а есть элемент порядка (периода) 3.

Если а порождает циклическую группу то последовательность степеней элемента а представляет собой циклическое повторение основной серии а, Это свойство допускает геометрическую интерпретацию, которая в свою очередь приводит к осуществлению нашей цели — построению графического представления группы. Например, циклическая группа порядка 3 наводит на мысль о треугольнике, каждая вершина которого соответствует элементу группы (рис. 5.1). Каждой стороне треугольника приписано направление, которое указано стрелкой. Движение в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на образующий элемент а группы.

Таким образом, отправляясь из вершины, помеченной символом передвинуться в направлении, указанном стрелкой, к вершине — это все равно, что образовать произведение Движение в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент обратный к образующей а. Например, отправляясь из вершины, помеченной символом редвинуться в направлении, противоположном указанному стрелкой, направленной к этой вершине, - это все равно, что образовать произведение