Задание группы С3 определяющими соотношениями.

(1) Применим описанную выше процедуру для «отыскания» группы G, задаваемой определяющим соотношением от одной образующей r. (Мы, конечно, ожидаем, что группа G окажется циклической группой порядка 3.)

(2) В нашем случае множество F всех слов от r состоит из всех конечных произведений символов r и Ясно, что любое слово Т из F можно преобразовать к виду

(3) Чтобы образовать множество К, найдем все слова, «порожденные» словами вида или

т. е. слова вида

Но если удалить из этих слов все стоящие рядом пары взаимно обратных элементов, то мы получим

Таким образом, множество К включает в себя все произведения степеней элементов

или

Этими словами из К исчерпываются все слова W, для которых равенство W = I есть следствие из

(4) Преобразуя слова из F путем вставки или вычеркивания слов, для которых мы замечаем теперь, что множество F делится на три класса:

(5) В качестве представителей этих классов выберем

(Это удобно, но, вообще говоря, вместо них мы могли бы выбрать, например, таких представителей: из из из С.) Три представляющих слова образуют группу, а именно циклическую группу порядка 3 с элементом r в качестве образующей. (Мы должны помнить, что элементу группы соответствует целый класс эквивалентных слов. Например, слово ) лежит в том же классе, что и слово r, и,

Рис. 7.1.

следовательно, мы можем сказать, что элемент есть не что иное, как элемент r.)

Мы видим, что группа G с определяющим соотношением как мы и ожидали, оказалась циклической группой порядка 3.