Порядки подгрупп.

Как известно, простым числом называется целое число, большее единицы, которое не имеет положительных делителей, кроме самого себя и единицы. Интересно, что существуют группы с аналогичными свойствами, т. е. группы, не содержащие других подгрупп, кроме самой себя и подгруппы, состоящей из одного единичного элемента . В самом деле, конечная группа не имеет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда ее порядок — простое число. Часть «тогда» этого утверждения является следствием более общей теоремы, устанавливающей числовое соотношение между порядком конечной группы и порядком любой из ее подгрупп. Эта теорема, доказанная Лагранжем, была сформулирована в 1771 г. В дальнейшем мы к ней вернемся.

Лагранж одним из первых применил строгие математические методы к задачам аналитической механики. До сих пор в знак уважения к его заслугам одну из основных функций в динамике обозначают буквой L — первой буквой его фамилии. Он внес также вклад в развитие теории групп и ее приложений к решению алгебраических уравнений.

«Резольвента Лагранжа» была позднее использована Галуа в работах по исследованию разрешимости алгебраических уравнений с помощью теории групп, которые произвели подлинный переворот в науке. Вернемся теперь к теореме Лагранжа о порядках подгрупп конечной группы.

Теорема Лагранжа. Порядок конечной группы кратен порядку любой из ее подгрупп.

Эта теорема утверждает, что если -порядок группы G и h — порядок ее подгруппы H, то , где n — одно из целых чисел . Для несобственных подгрупп G и равно 1 и g соответственно. Если H — собственная подгруппа, то m — одно из целых чисел

В доказательстве этой теоремы мы используем некоторые множества элементов группы, называемые смежными классами. Понятие смежного класса играет важную роль в теории групп. После того как мы вкратце ознакомимся со смежными классами и их свойствами, доказательство теоремы не составит труда.

Смежные классы группы. Пусть — подгруппа группы G. Предположим для простоты, что Я содержит, например, четыре (различных) элемента, так что

Пусть b — элемент группы G, не принадлежащий подгруппе . Рассмотрим множество

полученное умножением элементов множества слева на элемент b. (Для определенности мы выбираем здесь умножение слева.) Мы утверждаем, что

(i) все элементы множества различны;

(ii) не имеют общих элементов.

Чтобы доказать (i), предположим, например, что

Умножив обе части этого равенства слева на получим равенство

в противоречие с предположением о том, что группа H содержит четыре различных элемента.

Чтобы доказать утверждение (i) равен некоторому элементу множества например пусть Тогда, умножая это равенство справа на мы придем к соотношению

Элемент принадлежит подгруппе H, так как H — группа, в то время как по предположению элемент b не принадлежал . Таким образом, допущение, что H и имеют общий элемент, приводит к противоречию.

Мы получили, таким образом, восемь элементов группы G: четыре в подгруппе группы

и остальные четыре в множестве элементов из группы

Множество называется левым смежным классом группы G по подгруппе H и обозначается через

Сама подгруппа Я является смежным классом группы G по H, так как

Нели с — элемент группы G, не принадлежащий ни смежному классу H, ни смежному классу то его можно использовать для образования нового смежного класса по подгруппе H:

Мы уже знаем, что все элементы смежного класса различны и что множества Н и не имеют общих элементов. Элементы смежного класса отличны также и от элементов класса . Доказательство этого утверждения составляет часть решения упражнения 29 (см. ниже). Теперь у нас есть двенадцать элементов группы G, содержащихся в трех левых смежных классах

Если в группе G всего двенадцать элементов, то мы их все уже выписали и получили, таким образом, разбиение группы G на непересекающиеся множества. Тот факт, что группа G является объединением этих подмножеств, мы будем выражать записью

Если в группе G больше двенадцати элементов, то в ней существует элемент d, не принадлежащий множеству . Образуем тогда новый левый смежный класс

Все элементы класса различны, и, как следует из результата упражнения 29, ни один из этих элементов не содержится ни в каком из рассмотренных выше смежных классов. Таким образом, мы получили шестнадцать различных элементов группы G, содержащихся в четырех левых смежных классах, по четыре элемента в каждом. Если группа G состоит из шестнадцати различных элементов, то мы можем записать

План доказательства теперь ясен. Выбрав в группе G некоторую подгруппу Н порядка h и элемент b, не принадлежащий этой подгруппе, образуем смежный класс .

Этот смежный класс содержит h элементов, а множества H и ЬН вместе содержат различных элементов группы. Если есть элемент с, не вошедший в эти элементов, то мы образуем новый смежный класс и получим всего различных элементов группы G. И всякий раз, когда найдется хотя бы один элемент группы G, не вошедший в объединение ранее образованных смежных классов, мы можем образовать новый смежный класс (содержащий h различных элементов). Так как порядок группы G конечен, то, добавляя на каждом шаге h различных элементов, через конечное число шагов мы должны исчерпать все элементы группы G. Если после образования n левых смежных классов по подгруппе Я все элементы группы G окажутся использованными, то мы получаем разбиение группы G на n левых смежных классов по h элементов в каждом:

Таким образом, порядок группы G есть число, кратное порядку любой ее подгруппы Н.

Итак, рассмотрев понятие смежных классов группы по ее подгруппе, мы попутно доказали теорему Лагранжа.

Упражнение 29. Пусть — два левых смежных класса группы G по подгруппе H. Покажите, что классы либо не имеют общих элементов, либо совпадают.

Несовпадение левых и правых смежных классов. В приведенном доказательстве теоремы Лагранжа были использованы левые смежные классы. Если использовать правые смежные классы, то доказательство по существу не изменится. Поставим такой вопрос: совпадают ли соответствующие левые и правые смежные классы по одной и той же подгруппе? Если это не так, то можно ли, по крайней мере, надеяться, что любой левый смежный класс ЬН содержит в точности те же элементы, что и некоторый правый смежный класс ?

Рассмотрим группу диэдра шестого порядка (рис. 8.1). Она содержит циклическую подгруппу второго порядка

Образуем левые и правые смежные классы группы по подгруппе H. (На графе видно, что )

Левые смежные классы Правые смежные классы

Заметим, что в этих разбиениях никакие два смежных класса, за исключением самой подгруппы

Рис. 8.1.

H, не совпадают. Как смежный класс так и смежный класс отличаются от обоих правых смежных классов На и Мы получили два различных разбиения группы на левые и правые классы соответственно:

и

Этот пример показывает, что левые и правые смежные классы группы G по подгруппе Я могут давать различные разбиения группы

Бесконечные смежные классы. Мы уже знаем, что множество N всех целых чисел является группой с бинарной операцией сложения (аддитивной циклической группой) и что множество Е всех четных чисел является подгруппой этой группы (стр. 111). Попытаемся представить группу N как объединение смежных классов по подгруппе Е. Пусть а — элемент группы G, не принадлежащий , т. е. а — некоторое нечетное число; рассмотрим множество полученное применением групповой операции (сложения) к элементу а и всем элементам множества Е. Если обозначить элементы множества Е через то множество будет состоять из элементов

Так как сумма четного и нечетного чисел есть число нечетное и каждое нечетное число может быть записано в виде суммы нечетного числа а и некоторого четного числа, то смежный класс совпадает с множеством О всех нечетных чисел, какое бы нечетное число мы ни взяли в качестве а. Ясно, что объединение смежных классов Е и О совпадает со всем множеством целых чисел N. Таким образом,

или

(Отметим, что ввиду коммутативности группы N левые и правые смежные классы совпадают, так что смежный класс — это также множество О.)

Подгруппа Е — это множество чисел, кратных числу 2, а смежный класс — это множество всех целых чисел, дающих остаток 1 при делении на 2. Аналогичным способом можно найти смежные классы множества N по подгруппе Т всех чисел, кратных 3. Выпишем их:

(Здесь число а может быть представлено в виде а число b — в виде ) Тогда

— представление множества N с помощью смежных классов по подгруппе Т.

Упражнение 30. Пусть — смежные классы группы L по подгруппе Покажите, что

(a) если с — элемент смежного класса , то смежные классы совпадают;

(b) смежные классы совпадают в том и только том случае, когда элемент принадлежит подгруппе

Упражнение 31. Докажите, что если

— представление группы L в виде объединения левых смежных классов по подгруппе , то

является ее представлением с помощью правых смежных классов.

Упражнение 32. Найдите правые и левые смежные классы группы диэдра шестого порядка по ее подгруппе

Некоторые следствия из теоремы Лагранжа. Укажем теперь некоторые непосредственные следствия из теоремы Лагранжа о порядках подгрупп.

Теорема 4. Если порядок группы G есть простое число, то

(1) группа G не имеет собственных подгрупп;

(2) группа G является циклической.

Утверждение (1) следует непосредственно из теоремы Лагранжа и определения простого числа. Для доказательства утверждения (2) обозначим через r любой отличный от элемент группы G простого порядка. Если порядок r равен n, то Множество

составляет циклическую группу порядка в группе G (см. упр. 33), так что H — подгруппа данной группы G простого порядка. По теореме Лагранжа порядок n этой подгруппы является делителем числа p. Так как то Но H — подгруппа группы G; следовательно, H совпадает с группой G. Это доказывает утверждение (2).

Из теоремы Лагранжа следует только, что если в группе G есть подгруппа , то порядок группы G кратен порядку группы . Пока для нас остается открытым вопрос, верно ли обратное утверждение: обязательно ли в группе G, порядок которой кратен некоторому числу , содержится подгруппа порядка ? Мы ответим на этот вопрос позднее, когда перейдем к изучению группы тетраэдра двенадцатого порядка.

Решив некоторые из следующих ниже упражнений, можно вывести одно интересное следствие теоремы Лагранжа. Читатель, который как следует потрудится над ними, получит в награду доказательство одной хорошо известной теоремы теории чисел, принадлежащей Ферма.

Упражнение 33. (а) Покажите, что если порядок элемента а группы G равен n, то — циклическая подгруппа группы

Какое соотношение связывает между собой порядок произвольного элемента конечной группы и порядок самой группы?

Упражнение 34. Рассмотрим группу «остатков» порядка (стр. 37) с элементами (p — простое число) и бинарной операцией умножения по модулю p. Для любых двух чисел и у из рассматриваемого множества найдется такое число r, что ху и r дают одинаковый остаток при делении на так что

Ясно, что каждый элемент этой конечной группы «остатков» имеет конечный порядок. Пусть g — некоторый элемент порядка n.

(a) Покажите, что число кратно числу т. е. что

(b) Используя теорему Лагранжа, покажите, что есть число, кратное числу p, или

(см. упр. 33).

Упражнение 35. Пусть число а кратно простому числу Тогда оба числа являются кратными числа p и, значит, Докажите, что и в том случае, когда целое положительное число а не является кратным числа есть число, кратное p. [Указание. Мы должны доказать, что , или Для доказательства этого последнего соотношения нужно использовать результат упражнения 34.]

При решении этого упражнения доказана следующая теорема Ферма: если p — простое число и а — любое целое положительное число, то кратно числу p.

Упражнение 36. Пусть а и b — элементы группы G. Покажите, что

(a) порядок элемента равен порядку элемента

(b) если , то порядок элемента является делителем произведения порядков элементов а и b;

(c) если а порядки тип элементов а и b соответственно — взаимно простые числа, то порядком элемента является число (числа тип называются взаимно простыми, если единственный их общий делитель есть 1),