ГЛАВА 6. ГРАФ ГРУППЫ

Возникает предположение, - что многоугольник» сторонам которого приписано направление, можно рассматривать как геометрический эквивалент циклической группы, или граф циклической группы. Давайте посмотрим, что мы знаем об основных свойствах группы и как они отражаются в только что предложенной геометрической интерпретации.

Если а — образующая циклической группы, то по определению каждый элемент может быть представлен как произведение сомножителей а и Обратно, любое произведение сомножителей а и есть элемент группы. Рассмотрим, например, произведения

ясно, что все три произведения представляют собой один и тот же элемент группы.

По очевидной аналогии мы назовем конечную последовательность образующих и их обратных словом. Тогда каждому слову, составленному из символов а и (как мы будем говорить, «слову от символов а и ), соответствует элемент циклической группы, порожденной а. Так как любой наперед заданный элемент может быть представлен в виде слова бесконечно многими способами, то представление элемента группы в виде слова неоднозначно.

Если — некоторый элемент циклической группы порядка 3, то любое слово, представляющее элемент можно понимать как движение по графу, рассмотренному в конце предыдущей главы. Пусть слово представляет элемент х.

Будем интерпретировать его как такое движение по графу, изображенному на рис. 6.1:

1. Возьмем за исходную точку вершину, помеченную символом Так как первым сомножителем в слове, представляющем элемент является а, мы движемся из I в направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка, который изображен на рис. 6.2. Этот конец является вершиной, помеченной символом а, и будет служить исходной точкой для дальнейшего движения.

Рис. 6.1

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

2. Так как второй сомножитель равен а, мы выходим из достигнутой на первом шаге вершины и движемся в направлении, указанном стрелкой, к другому концу отрезка (рис. 6.3). Этот конец есть вершина, помеченная символом он и будет служить исходной точкой для дальнейшего движения.

3. Так как третий сомножитель есть обратный к а, мы отправляемся из вершины, в которую пришли на втором шаге, и движемся в направлении, противоположном указанному стрелкой, к другому концу отрезка. Этот конец — вершина, помеченная символом а, — мог бы служить исходной точкой для дальнейшего движения. Однако в данном слове третий сомножитель последний, и потому дальнейших движений не происходит, т. е. путь, соответствующий слову заканчивается в вершине, помеченной символом а.

Слово, соответствующее элементу интерпретируется, таким образом, как множество направлений при движении вдоль некоторого пути в графической сети.

Каждому слову соответствует определенная последовательность движений вдоль направленных отрезков, и, обратно, любой путь вдоль направленных отрезков графа группы, начинающийся из вершины соответствует конкретному слову.

Представление группы как сети, состоящей из направленных отрезков (или ребер), где вершины соответствуют элементам, а отрезки — умножению на образующие группы и их обратные, было введено Кэли еще в XIX веке. Такая сеть, или граф, часто называется диаграммой Кэли.

Рис. 6.4.

Вращения квадрата в его плоскости (стр. 16) составляют циклическую группу порядка . Граф этой группы представлен на рис. 6.4.

Замечания. 1) Вершин у графа столько же, сколько элементов в группе.

2) Вершина выбирается произвольно.

3) В каждой вершине сходятся два отрезка, один соответствует умножению справа на образующую а и направлен от вершины, а другой соответствует умножению справа на элемент обратный к образующей, и направлен к вершине.

4) Конкретная форма графической сети не имеет значения. Важна лишь конфигурация связей между вершинами. Направленные отрезки, связывающие вершины, не обязаны быть прямолинейными, а граф не обязан иметь форму правильного многоугольника. Вы можете проявить свой вкус, выбирая ту форму, которая вам нравится, если только при этом не искажается математический смысл.

Графом циклической группы порядка я, связанной с вращениями правильного -угольника в его плоскости, является -угольник с направленными отрезками в качестве сторон. Например, циклическая группа порядка соответствующая самосовмещениям правильного шестиугольника, вращающегося в своей плоскости, состоит из элементов

Рис. 6.5.

Шестиугольник, ребрами которого являются отрезки, направленные как на рис. 6.5, будет графом этой группы.