РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ

Упр. 2. Вращение с — это вращение по часовой стрелке на 450°. Оно переводит квадрат в то же положение, что и вращение по часовой стрелке на таким образом, . Вращение представляет собой вращение на оно возвращает квадрат в исходное положение.

Упр. 3. 0 является единицей, так как для любого действительного числа .

Упр. 4. Мы сразу же видим, что обратным к 1 является элемент 1; действительно,

Пусть - одно из чисел рассмотрим p целых чисел Так как числа и p не имеют общих делителей (взаимно просты), ни одно из этих p чисел не делится на следователю, остатки от деления этих чисел на p находятся среди чисел и хотя бы два из них, скажем дают один и тот же остаток. Для определенности пусть . Тогда

где Поскольку , то

(Здесь мы используем тот факт, что сравнимо с нулем по модулю простого числа p тогда и только тогда, когда или , или ; читателю следует проверить это утверждение и сформулировать его иначе, используя понятие кратных числа p.)

Пусть теперь у — остаток от деления числа на р. Тогда

и если мы умножим обе части этого сравнения на , то получим

[Следует проверить, что если , то ] С другой стороны, мы показали, что , откуда следует, что

Поэтому .

Упр. 5. (а) Умножая слева на элемент получаем равенство Затем умножаем слева на и получаем . Умножим обе части первого соотношения справа на тогда или следовательно, значит, . Умножаем слева на и получаем . Повторным умножением справа на соответствующие элементы мы последовательно получаем

Упр. 6. Из основных свойств таблицы умножения и групповых аксиом получаем:

Упр. 7.

Упр. 8. (а) Циклическая группа, (b) Циклическая группа,

(с) Не является группой, так как не содержит единицы аддитивной группы, а именно нуля, (d) Циклическая группа.

Упр. 9.

Упр. 10.

Таблица умножения показывает, что мы имеем дело с группой. (Например, каждый элемент а имеет единственный обратный, т. е. такой элемент что ) Отметим, что группа коммутативна.

Упр. 11. Слово соответствует следующим путям (за начальные точки берутся последовательно А, В, С):

Упр. 12. Как следствие соотношения получаем

Отсюда вытекает, что или, поскольку , что значит,

Следовательно, откуда вытекает, что Наконец,

что дает оставшееся соотношение из множества A.

Упр. 13. (а) Мы можем записать

Заменяя в правой части второго уравнения на получим

Так как соотношение влечет за собой равенство , то мы можем отсюда заключить, что или как и утверждалось. (Порядок элемента не превосходит 8.)

(b) Имеем . Аналогично, Продолжая таким же образом, приходим к соотношениям

Следовательно, (Таким образом, порядок элемента у не превосходит )

Упр. 14. (а) Используем тот же метод, что и в упр. 13. Имеем

Продолжая таким же образом, получаем последовательно . Заменяя на приходим к равенству или . Так как мы знаем, что , но ничего не знаем относительно то мы должны продолжать такое последовательное умножение, пока в левой части не появится Таким образом,

Далее, мы последовательно получаем . Отсюда

Из того что мы можем теперь заключить, что или . Таким образом, порядок элемента v не превосходит 63.

(b) Поступаем, как и раньше;

Тогда

т. e. Продолжая таким же образом, приходим к равенствам

т. е. у порядок элемента v не превосходит [Замечание: упражнения 13 и 14 иллюстрируют соотношение, справедливое в любой группе:

Упр. 15. Из упр. 13 мы знаем, что у — элемент конечного порядка и . Это подсказывает выбор восьмиугольника в качестве основной фигуры графа. Метод решения становится теперь очевидным, и мы в конце концов приходим к следующему графу:

Упр. 16. Из упр. 14 мы знаем, что порядок элемента не превосходит Пусть r — порядок t. (Мы предполагаем, что так как в противном случае приходится иметь дело с особым случаем ) Из того что получаем равенство . Аналогично, соотношение влечет за собой (Здесь мы снова предполагаем, что чтобы исключить тривиальный случай ) Следовательно, в любом слове W можно заменить на на и, значит, любое слово, определяющее элемент нашей группы, может быть выражено через положительные степени элементов s и . Теперь можно умножить заданное соотношение справа на s и получить соотношение . Таким образом, в любом слове мы можем последовательность символов заменить на

Если повторять эту процедуру в данном слове, содержащем последовательность символов то в конце концов мы придем к слову, в котором все степени элемента t стоят слева от степеней элемента s. Таким образом, любой элемент в нашей группе можно записать как слово вида . Кроме того, для значения существует лишь r возможностей (так как ), а для — лишь n возможностей; следовательно, в группе не более чем различных элементов. Так как r то порядок нашей группы не превосходит

Упр. 17. Из решения упр. 14 следует, что . Но так как 7 — простое число, то порядок элемента t равен 71). Результат упр. 16 позволяет заключить, что порядок ндшей группы равен 21. Граф нашей группы можно строить, основываясь на трех семи-, угольниках или на семи треугольниках (соответствующих соотношениям ). Здесь изображен граф нашей группы порядка 21, основанный на семи треугольниках:

Упр. 18. Мы можем использовать граф группы (рис. 7.6), чтобы вычислить следующие степени элемента

Таким образом, g порождает циклическую группу .

Упр. 19. (а) Группа получается из группы (с образующей а и определяющим соотношением ) и группы (с образующей b и определяющим соотношением ). По определению прямого произведения групп а и b должны коммутировать, т. е. или . Таким образом, группа имеет образующие а и b, связанные соотношениями Этим соотношениям соответствует граф коммутативной группы порядка 8:

(Ь) Группа получается из группы, порожденной элементом а, удовлетворяющим соотношению и группы, порожденной элементом b, удовлетворяющим соотношению Так как а и b в группе коммутируют, то Таким образом, группа порождается элементами а и b, удовлетворяющими соотношениям Для этой группы порядка 9 мы имеем два таких графа:

(Будут ли они топологически эквивалентны?)

Упр. Так как элемент а перестановочен в группе то Если в группе существуют такие элементы что (определяющие соотношения группы ), то содержится в Поскольку равенство влечет за собой и порядок элемента равен 3, то порядок элемента равен 6. Обозначим через у элемент Выясним, будет ли Имеем

Таким образом, элементы удовлетворяют определяющим соотношениям группы и последняя содержится в группе

Для доказательства того, что надо только показать следующее: группа содержит столько же элементов, сколько группа (а именно 12). Так как а перестановочен и с r и с то любое слово от этих трех образующих эквивалентно слову, которое получается из него перемещением всех степеней элемента а влево, в то время как степени элементов r и f остаются в прежнем порядке; например, Таким образом, число элементов в группе равно произведению числа элементов в группе на число элементов в группе

Упр. 21. Из того что мы заключаем, что Из того что , мы заключаем, что Таким образом, . Следовательно,

(так как ), и потому Отсюда следует, что . Таким образом, наш граф содержит связанные четырехугольники, соответствующие соотношениям . Это граф некоммутативной группы порядка 8, так называемой группы кватернионов, которую мы подробно рассматриваем в гл. 12:

Упр. 22.

(b) Пусть g обозначает элемент Мы можем написать Таким образом, любое слово от r и можно выразить через f и Обратно, если и в любом слове от f и g мы можем заменить g на и прийти к слову только от r и

Упр. 23. Единица; если а принадлежит H, то принадлежит

Обратимость: если b принадлежит H, то также принадлежит H.

Замкнутость: если а и b — элементы множества H, то также принадлежит H, а потому и принадлежит H.

Упр. 24. (а) Замкнутость:

Обратимость: так как .

(b) (они образуют циклическую группу ).

(c) Подгрупп порядка 4 нет. Такая подгруппа должна была бы содержать самое меньшее по одному элементу из следующих двух множеств: . Но любая пара, в которую входит один элемент из первого множества и один элемент из второго множества, порождает всю группу.

Упр. 25. Элементы группы Порядок элемента а равен 5, а порядок любого элемента группы не превосходит 5, так как при Если допустить, что порядок элемента равен то мы придем к противоречию: , где не кратно 5. Таким образом, порядок каждого элемента группы (кроме I) равен 5. Отсюда следует, что любая подгруппа группы в которую входит содержит пять различных элементов и не может быть собственной подгруппой.

Упр. 26. (а) Замкнутость: .

Обратимость:

Замкнутость:

Обратимость:

Упр. 27. Обозначим через множество общих элементов групп

Замкнутость: Пусть принадлежат . Это означает, что являются элементами как R, так и S. Поскольку R и S — группы, элемент принадлежит как R, так и S, а потому и

Обратимость: Если t принадлежит , то t и, следовательно, являются элементами как группы R, так и группы S. Таким образом, принадлежит

Упр. 28. (а) Сложение является ассоциативной бинарной операцией на нашем множестве, поскольку , и если а, b, — целые, — также целые числа.

Единица:

Обратные: -

Замкнутость: , числа оба четны, если четны

Обратимость:

Упр. 29. Предположим, что смежные классы имеют хотя бы один общий элемент, скажем Тогда является элементом группы H и пробегает множество всех элементов подгруппы H, когда h последовательно пробегает это множество.

Следовательно, из очевидного равенства или что Таким образом, если два смежных класса имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают.

Упр. 30. (а) Пусть — смежный класс, Пусть (т. е. с принадлежит смежному классу ). Тогда смежный класс можно записать так: — это все элементы подгруппы только в другом порядке. Таким образом, как и утверждалось.

(Ь) Если принадлежит то мы можем записать, что где — некоторый элемент группы Умножая это равенство слева на , получаем с а это показывает, что с принадлежит смежному классу Таким образом, смежные классы совпадают.

Предположим теперь, что смежные классы совпадают. Тогда произвольный элемент из равен некоторому элементу из , где — элементы подгруппы . Умножая это равенство слева на и справа на мы получаем, что Так как принадлежат подгруппе то ей принадлежат и

Упр. 31. Доказательство может быть основано на такой идее: показать, что если — два различных левых смежных класса группы L, то два различных правых смежных класса. Или в противоположной формулировке: если совпадают, то тоже совпадают. Чтобы убедиться в этом, предположим, что некоторый элемент из смежного класса равен некоторому элементу из скажем . Тогда является элементом смежного класса . Таким образом, если совпадают смежные классы , то левые смежные классы имеют общий элемент и, следовательно, также совпадают, так как никакие два различных смежных класса не имеют общих элементов. Поэтому и соответствующие правые смежные классы различны.

Упр. 32. Левые смежные классы:

Правые смежные классы:

Так как , то . Аналогично . Таким образом, левые и правые смежные классы совпадают.

Упр. 33. (а) Замкнутость. Для любых двух элементов из Н справедливо равенство . Так как где — целые числа, такие, что является элементом из H.

Обратимость. Если элемент принадлежит H, то также принадлежит H и

(b) Если g — порядок группы G, а n — порядок некоторого элемента этой группы, то по теореме Лагранжа и по п. кратно n. Иными словами, порядок элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Упр. 34. (а) Так как g — элемент порядка n и 1 есть единичный элемент группы «остатков», то или .

(b) Так как n — порядок элемента g, то число должно быть кратно n (см. упр. 33b), скажем Тогда поскольку то обязательно или кратно p.

Упр. 35. Так как а не кратно p, то следовательно, , где r — одно из чисел и, значит, . Рассмотрим теперь

Так как то (по модулю простого числа тогда и только тогда, когда или или т. е.

Из упр. мы знаем, что Таким образом, мы приходим к выводу, что Следовательно, Это доказывает теорему Ферма.

Упр. 36. (а) Пусть — порядок элемента а у — порядок элемента Можно записать Тогда, умножив это равенство слева на и справа на получим . С другой стороны, отсюда следует, что Так как у есть порядок элемента то где k — положительное целое число. Применив то же рассуждение к приходим к выводу, что где — положительное целое число. Следовательно,

Пусть m — порядок элемента а, а n — порядок элемента b. Мы должны показать, что поскольку из этого будет следовать, что кратно порядку элемента Так как то мы можем менять а и b местами в любом произведении вида Таким образом,

Предположим, что порядок элемента равен r. Из п. (b) мы знаем, что r является делителем числа и, следовательно, должно иметь вид где - делитель m, а — делитель n (допускается, что или а также что или

Тогда

поскольку Из равенства следует, что кратно , скажем Тогда т. е. все простые делители числа m должны находиться среди простых делителей чисел k и Но поскольку тип взаимно просты, то m и взаимно просты. Следовательно, простые, делители числа m в точности совпадают с простыми делителями числа a или Аналогично, используя соотношения мы убеждаемся, что Таким образом, как и утверждалось.

Упр. 37. Мы доказываем противоположное утверждение. Если отображение гомоморфно, то . Для любого элемента r группы G имеем Умножая справа на получаем, что в группе Н.

Упр. 38. Имеем или Умножая слева на получаем, что

Аналогично

(b) По предположению . Тогда и, таким образом, .

Упр. 41. Мы покажем, что отображение f, которое сопоставляет каждому целому числу n из G число обладает всеми нужными свойствами. При этом отображении или ,

Кроме того, означает, что а это последнее равенство выполняется тогда и только тогда, когда (Может ли существовать изоморфизм конечной группы на ее собственную подгруппу?)

Упр. 42. Любой элемент группы G можно представить в виде а любой элемент из Н — в виде Определим отображение f формулой или где — произвольный элемент группы