Изоморфизм.

Рассмотренное выше гомоморфное отображение группы на группу не является взаимно однозначным; два различных элемента а группы переходят при нем в один и тот же элемент b группы (Отображение одной конечной группы на другую может быть взаимно однозначным лишь в том случае, когда эти группы имеют одинаковый порядок.) Взгимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфным отображением, или изоморфизмом. Итак, изоморфизм групп — это отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям:

1) для всех элементов а и b (гомоморфизм);

2) в том и только том случае, когда (взаимная однозначность).

Рассмотрим два примера таких отображений. В одном из них участвуют конечные группы, а в другом — бесконечные. Читателю следует обратить внимание на следующий факт: изоморфизм одной группы на другую означает, что они имеют одинаковую алгебраическую структуру. Именно по этой причине и существует изоморфизм одной группы на другую.

Пусть элементами группы Н служат корни уравнения

Групповая операция — обычное умножение. Рассмотрим циклическую группу таких вращений квадрата в его плоскости, в результате которых он совмещается с собой,

Обозначим через такое отображение группы на Н:

Очевидно, что f — взаимно однозначное отображение. Но будет ли оно гомоморфным? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем таблицу умножения группы (табл. 9.2) и сравним каждое произведение r с его образом (записанным под ним):

Таблица 9.2

Читатель легко проверит (учитывая равенство что образы элементов группы образуют таблицу умножения группы H. Таким образом,

и потому отображение f не только взаимно однозначно, но и гомоморфно. Значит, f — изоморфизм. В таких случаях мы будем говорить, что группы и Н изоморфны. Две группы изоморфны, если существует изоморфизм одной группы на другую. С точки зрения этого определения изоморфизм есть как свойство двух групп, так и свойство связывающего их отображения. Именно это свойство мы и имели в виду, когда говорили, что группы имеют одинаковую структуру.

Графы двух изоморфных групп изображены на рис. 9.7. Ясно, что эти графы совпадают с точностью до обозначений при вершинах и образующих.

В качестве второго примера изоморфных групп рассмотрим множество Р положительных действительных чисел и множество L их логарифмов. (Не важно, по какому основанию рассматриваются логарифмы, но для определенности будем считать, что они десятичные.)

Рис. 9.7.

Прежде всего отметим, что каждое из этих множеств является группой относительно бинарной операции, указанной в следующей таблице:

Докажем, что эти группы изоморфны и что отображение определенное формулой

есть изоморфизм. Каждый элемент множества L при указанном отображении f является образом некоторого элемента из Р. Итак, областью определения этого отображения служит множество всех положительных чисел, а областью значений — множество всех действительных чисел (рис. 9.8). Остается проверить, что

(1) для любых х и у из

(2) отображение взаимно однозначно.

Здесь нужно быть осторожным, чтобы не спутать операции в группах Р и L. Пусть — бинарная операция группы Р, а — бинарная операция группы

Рис. 9.8.

Тогда для любых двух элементов х, у группы Р

а для их образов в группе

Таким образом, для выполнения условия (1) (определяющего свойства гомоморфизма) нужно, чтобы для любых элементов из группы Р имело место соотношение

Но последнее равенство выражает известное свойство логарифмов. Поэтому рассматриваемое отображение есть гомоморфизм группы всех положительных чисел на группу всех действительных чисел.

Чтобы убедиться в его взаимной однозначности, посмотрим на график функции Достаточно проверить, что любые два различных элемента переходят в два различных элемента. Предположим, что , т. е. что . Тогда

Отсюда следует, что и, значит, . Таким образом, отображение взаимно однозначно и, следовательно, является изоморфизмом.