Задание группы D3 множеством соотношений.

(1) Множество порождающих символов — это а множество соотношений между ними — это

(2) F — множество всех слов от . В противоположность предыдущему примеру у нас нет простого способа описать все эти слова.

(3) Подмножество К содержит все слова W, для которых соотношение является следствием заданных соотношений. Обратим внимание на одно специальное слово из , которое нам понадобится в дальнейшем. Рассмотрим это слово V, составленное из сомножителей вида или :

Так как V — слово из множества К, то

(4), (5) Преобразуем теперь слова из множества F, вставляя или вычеркивая слова, равные и разобьем F на классы эквивалентных слов. Мы утверждаем, что существует шесть классов эквивалентных слов с таким множеством представителей:

Чтобы доказать это утверждение, покажем сначала, что не может быть более шести классов эквивалентных слов, т. е. что любое слово из множества F можно преобразовать в одно из указанных шести слов, а затем — что никакие два из них не эквивалентны. Будем основываться на том, что любое слово из К равно и использовать специальное слово V из К.

Из того, что

принадлежит множеству К, как мы видели, следует равенство

Используем это для доказательства такого факта: каждое слово из множества F эквивалентно некоторому слову вида , где а и b — неотрицательные целые числа. Действительно, если задано произвольное слово из множества F, то можно применить равенство для того, чтобы «переставлять» f и r, заменяя одновременно r на таким путем мы можем «сдвинуть» все символы f вправо, а все символы r влево. В конечном счете мы придем к эквивалентному слову, в котором все символы r стоят впереди всех символов . Кроме того, все степени элементов r и f в преобразованном слове можно считать неотрицательными, поскольку соотношения влекут за собой соотношения

Таким образом, каждое слово из множества как и утверждалось, эквивалентно слову вида . Например, оказывается эквивалентным слову r:

Далее, из соотношений следует, что каждое из слов эквивалентно слову вида где а равно 0, 1 или 2, а b равно 0 или 1, т. е. произвольное слово из множества F эквивалентно одному из слов

Пока мы доказали, что существует не более шести классов эквивалентных слов из множества F. Но некоторые из этих шести классов с представителями быть может, совпадают, т. е. некоторые из предполагаемых представителей могут быть преобразованы один в другой. Остается доказать, что такого быть не может — никакие два из указанных шести слов и эквивалентны. Существенная часть доказательства состоит в том, чтобы показать, что и Хот соотношения входят в наше множество определяющих соотношений, мы не можем заранее предполагать, что эти равенства не являются следствиями наших исходных соотношений .

Покажем сначала, что . Если соотношение является следствием заданных соотношений, то f — слово из множества К. Следовательно, в К есть слово, представимое в виде произведения сомножителей или которое можно преобразовать в слово f. Нам надо показать, что, как бы мы ни применяли групповые аксиомы и заданные соотношения, представить f в виде произведения таких сомножителей невозможно.

Сущность нашего метода состоит в рассмотрении суммы показателей степени элемента f в произвольном слове из множества К. Мы подсчитаем, сколько вносится в эту сумму каждым из возможных сомножителей вида Слово R — это одно из слов (или их обратных), а сумма показателей степени элемента f в этих словах равна 0, 2, 2 (или 0, —2, —2 для обратных) соответственно. Так как Т — произвольное слово из множества F, то сумма показателей степени элемента f в слове Т может быть любым числом. Пусть она равна t. Тогда соответствующая сумма для слова равна —t. (Вспомним, что если, например, , то см рассуждение об элементе, обратном к произведению, на стр. 52.) Совместный вклад от и Т в эту сумму для любого сомножителя равен нулю. Следовательно, сумма показателей степени элемента f в любом сомножителе вида равна 0, 2 или —2. Таким образом, сумма показателей степени элемента f в любом слове из множества К есть четное число. Поскольку соответствующая сумма для f равна 1, слово f не может принадлежать множеству К.

Попытаемся теперь применить наш метод «сумм показателей» к доказательству того, что Мы сразу же убедимся, что здесь он ничего не дает. Действительно, сумма показателей степени элемента r в слове вида может быть равна 0, 2 или 3, т. е. суммы показателей для слов из множества К могут быть как четными, так и нечетными. Наше доказательство того, что будет основано на известных нам фактах о строении группы группы самосовмещений равностороннего треугольника. Предположим, что соотношение является следствием соотношений

Тогда будет следствием указанных соотношений в любой группе, в которой они имеют место. Мы знаем, что эти соотношения справедливы в группе но в группе не имеет места соотношение

Значит, оно не является следствием указанных выше соотношений.

Может ли соотношение быть следствием заданных соотношений? Если , то , откуда , но , следовательно, .

Мы доказали, что никакие два из слов не эквивалентны. Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что остальные три из наших шести слов-представителей попарно различны между собой (как элементы группы) и не эквивалентны ни одному из слов . Например, может ли быть Ясно, что тогда было бы и т. д.

Упражнение 12. Множество

является множеством определяющих соотношений группы . Докажите, что множество

также является множеством определяющих соотношений этой группы.

[Указание. Мы знаем, что соотношения из множества В являются следствиями соотношений из множества А (стр. 89). Следовательно, показав, что соотношения из А являются следствиями соотношений из В, мы докажем, что эти множества соотношений эквивалентны, т. е. оба они определяют одну и ту же группу.]

Теперь мы предлагаем читателю приступить к упражнениям 13—17; для их решения требуется несколько больше, чем простое применение основной процедуры. Если читателю эти упражнения покажутся трудными, то можно отложить их, пока не будут изучены следующие главы книги.

Упражнение 13. (а) Предположим, что группа G порождается двумя элементами х и у, удовлетворяющими соотношениям

Покажите, что у является элементом конечного порядка, установив, что .

(b) Предположим, что группа G порождается элементами x и у такими, что

Покажите, что

Упражнение 14. (а) Пусть u и v — элементы группы H; предположим, что

Докажите, что v есть элемент конечного порядка.

(b) Пусть в группе Н есть элементы и и у, для которых справедливы равенства

где m и k — такие целые числа, что . Докажите, что v — элемент конечного порядка.

Упражнение 15. Покажите, что существует группа порядка 16, образующими которой являются два элемента удовлетворяющие соотношениям

(Предполагается, что доказательство будет заключаться в построении графа группы.)

Упражнение 16. Покажите, что любая группа G с двумя образующими s и t, удовлетворяющими соотношениям

где n и k — целые числа, будет группой конечного порядка. Покажите также, что G не может содержать более чем различных элементов. [Указание, используйте метод, примененный на стр. 90 для доказательства тою, что все слова группы можно преобразовать к виду , поскольку в ней имеет место соотношение ]

Упражнение 17. Пусть в предыдущем упражнении Покажите, что действительно существует группа порядка 21, обладающая двумя образующими s и t, для которых

Выполните это упражнение, построив граф такой группы.