ГЛАВА 15. ГРУППЫ И ОРНАМЕНТЫ

Как мы видели, изучение групп приводит по существу к рассмотрению некоторых основных структур и соотношений между ними. Поэтому неудивительно, что с конкретными реализациями групп так часто приходится сталкиваться в декоративном искусстве. Фактически покрывающий всю плоскость узор, составленный из повторяющихся частей, каждая из которых воспроизводит один и тот же основной рисунок, соответствует некоторой группе. Узоры (орнаменты) такого типа часто используют для обоев, тканей, в архитектурных украшениях и т. п. Таким образом, в повседневной жизни мы, можно сказать, постоянно окружены группами. Чрезвычайно полно такие группы представлены в архитектуре дворца Альгамбра в Гренаде. Мавританские зодчие, строившие его в тринадцатом веке, использовали в декоративном убранстве дворца узоры, соответствующие всем возможным «группам орнаментов» (распространимых на всю плоскость).

Отметим, к сведению читателей, что всего существует двадцать четыре группы орнаментов; графы семи из них представляют собой периодически повторяющийся рисунок, заполняющий лишь бесконечную полосу в плоскости, графы остальных семнадцати заполняют всю плоскость.

Эти группы иногда называют плоскими кристаллографическими группами, так как расположение атомов на гранях кристаллических пород (в кристаллах кварца, например) представляет собой какую-либо из повторяющихся конфигураций «орнаментного» типа.

В этой главе мы ограничимся рассмотрением орнаментов, связанных с графами, которые заполняют всю плоскость. Одним из способов построения таких орнаментов является «замощение» плоскости равными правильными многоугольниками. Можно показать, что существует лишь три возможности такого рода, показанные на рис. 15.1 (см. упр. 63).

Рис. 15.1.

Отметим, что две первые конфигурации двойственны друг другу в том смысле, что точки, служащие центрами многоугольников, из которых состоит один орнамент, являются вершинами многоугольников второго орнамента; третья конфигурация двойственна сама себе.

Упражнение 63. Предположим, что плоскость «замощена» правильными -угольниками так, что два соседних многоугольника имеют в точности одно общее ребро. Покажите, что может принимать лишь значения 3, 4 и 6.

Нас интересуют не столько сами исходные конфигурации, по которым строится орнамент, сколько соответствующие им группы. Как мы увидим, те или иные орнаменты связаны со структурой некоторых групп движений; элементы такой группы перемещают фундаментальную область (исходную конфигурацию) так, чтобы получалось полное покрытие плоскости, подобно тому как пол покрывается плитками одинаковой основной формы. Пусть наша фундаментальная область — это квадрат S.

Рассмотрим два основных его движения:

r — сдвиг квадрата S вправо на длину его стороны (рис. 15.2);

s — сдвиг квадрата S вверх на длину его стороны (рис. 15.3).

Рис. 15.2. Положение области S в результате движения r.

Рис. 15.3. Положение области S в результате движения

Можно покрыть плоскость областями, равными S, используя все возможные произведения двух порождающих движений. [Замечание. Наше «произведение» — это результат применения операции последовательного выполнения.

Рис. 15.4. а) Фундаментальная область S и ее сдвиги с помощью s. б) Граф группы с образующими r и s и определяющим соотношением

Так как у нас есть всего одна фундаментальная область, а мы хотим заполнить всю плоскость, то мы представляем себе, что S оставляет свой «отпечаток» на каждом из мест, в которое она попадает.] На рис. 15.4, а) показана часть плоскости, покрытая квадратами с помощью образующих движений r и S.

На рисунке отмечены образы центра основной области. Отметим, что эти точки-образы соответствуют вершинам графа группы таких движений фундаментальной области, при которых ее образы покрывают всю плоскость. Читатель легко распознает в этой группе группу «городских улиц» (см. стр. 102).

Мы должны четко представлять себе различие между двумя рисунками. На рис. 15.4, а) изображена картина заполнения плоскости дубликатами фундаментальной области S, в то время как рисунок 15.4, б) изображает граф группы движений, а именно таких сдвигов области S, в результате которых создается эта картина «шахматной доски».

Рис. 15.5. Положение области S в результате движения а.

Рис. 15.6. Положение области S в результате движения b.

Причиной сходства этих двух изображений является отношение двойственности между ними (одно получается из другого следующим образом: каждому многоугольнику нужно поставить в соответствие его центр и соединить полученные точки отрезками; вспомните куб и октаэдр; стр. 189).

Мы можем заполнить образами нашей области бесконечную «шахматную доску» также с помощью движений, отличных от сдвигов. Это означает, что различные группы могут быть связаны с одним и тем же покрытием плоскости квадратами. Например, пусть а — опрокидывание области S относительно ее стороны см. рис. 15.5. Тогда движение -вращает квадрат S в исходное положение, т. е. Аналогично, если b обозначает опрокидывание области S вокруг стороны 52 (см. рис. 15.6), то Результат последовательного выполнения движений а и b (в различном порядке) показан на рис. 15.7.

Конечно, а и b не перестановочны между собой. Предположим теперь, что мы ввели в рассмотрение третье основное движение с: сдвиг квадрата S вверх на длину его стороны. С помощью трех движений а, b и с получается в точности та же картина замощения плоскости («шахматная доска»), что и с помощью двух сдвигов r и s, но соответствующие группы различны.

Рис. 15.7

Граф группы, порожденной движениями а, b и с, показан на рис. 15.8.

Рис. 15.8.

Выберем теперь другую фундаментальную область — равнобедренный прямоугольный треугольник, а за образующие движения примем:

r — вращение на 90° (против часовой стрелки) вокруг вершины прямого угла (см. рис. 15.9);

s — вращение на 180° вокруг середины гипотенузы (рис. 15.10). Ясно, что порядок элемента r равен четырем, a s — двум.

Движения r и s фундаментального равнобедренного прямоугольного треугольника задают некоторое покрытие плоскости. Получающаяся при этом картина и граф соответствующей группы движений изображены на рис. 15.11.

Заметим, что этот последний граф дает новый план замощения плоскости — многоугольниками двух типов, а не одного. Здесь в каждой вершине сходятся квадрат и два восьмиугольника.

Рис. 15.9.

Рис. 15.10.

Как же в общем случае получаются орнаменты? Они получаются из графов групп движений, осуществляющих полное покрытие плоскости некоторой фундаментальной областью.

Рис. 15.11.

Орнамент, определённый графом, изображенным на рис. 15.11, показан на рис. 15.12.

Приведем еще один пример орнамента, заполняющего всю плоскость, в образовании которого принимают участие геометрические фигуры нескольких типов. Возьмем в качестве фундаментальной области ромб, один из углов которого равен 60°, а в качестве образующих — два движения:

r — вращение на 120° (против часовой стрелки) вокруг вершины одного из углов в 120°;

s — вращение на 120° (против часовой стрелки) вокруг вершины другого угла в 120°.

Заметим, что см. рис. 15.13.

Рис. 15.12.

Один из семнадцати различных орнаментов.

На рис. 15.14 изображены покрытие плоскости ромбами и граф группы движений, порожденной элементами r и s.

Рис. 15.13.

Упражнение 64. Найдите множество определяющих соотношений для этой группы с образующими r и s.

Граф на рис. 15.14 показывает, что наша схема орнамента в каждой вершине имеет два различных треугольника (один — состоящий из r - отрезков и другой — из s-отрезков) и два шестиугольника.

Рис. 15.14.

Рис. 15.15.

Рис. 15.16.

Рис. 15.15 на несколько большей площади изображает соответствующий орнамент.

В заключение рассмотрим пример такой кристаллографической группы, что в каждой вершине ее графа сходятся многоугольники трех типов. В качестве фундаментальной области здесь взят треугольник с углами 30°, 60° и 90°, а в качестве образующих движений — опрокидывания относительно каждой из трех сторон треугольника.

Рис. 15.17.

Рис. 15.16 показывает, что граф этой группы заполняет всю плоскость, причем в каждой его вершине сходятся квадрат, шестиугольник и двенадцатиугольник. Орнамент, соответствующий этому графу, представлен на рис. 15.17.

Упражнение 65. Найдите множество определяющих соотношений для этой группы с образующими а, b и с.