Бесконечные подгруппы.

Рассмотрим бесконечную циклическую группу с образующей а и элементами

Любая подгруппа группы является циклической Посмотрим, имеются ли в группе конечные собственные подгруппы. Рассмотрим подмножество

На первый взгляд может показаться, что это циклическая группа которую мы рассматривали на стр. 64. Однако при операции, определенной в группе и, следовательно, не совпадает с группой Множество не замкнуто относительно операции, определенной в группе так как все степени элемента а в группе различны; например, элемент не принадлежит множеству . Следовательно, не является подгрупой группы .

Те же самые соображения показывают, что бесконечная циклическая группа вообще не имеет собственных конечных подгрупп.

Существуют ли бесконечные подгруппы группы Подмножество

состоит из четных степеней образующей а группы С. Условие замкнутости (1) выполняется, так как произведение двух четных степеней элемента а является его четной степенью. Чтобы убедиться в выполнении условия (2), отметим, что обратным к элементу служит элемент также принадлежащий множеству D. Таким образом, D — подгруппа группы

Группа D также является бесконечной циклической группой с образующей Существуют также подгруппа, порожденная элементом подгруппа, порожденная элементом и т. д.

Таким образом, группа имеет бесконечно много собственных подгрупп, каждая из которых является бесконечной циклической группой.

Мы уже достаточно хорошо знаем бесконечную циклическую группу N всех целых чисел с бинарной операцией сложения.

Элементы группы — все целые числа (положительные, отрицательные и нуль).

Групповая операция — сложение.

Единичный элемент — нуль.

Обратный к данному элементу — противоположное ему число.

Образующая — число 1 (или его обратный —1).

Мы назовем эту группу аддитивной циклической группой.

Является ли множество Е четных чисел подгруппой группы N? Проверим выполнение двух условий:

(1) Замкнутость: сумма любых двух четных чисел есть четное число.

(2) Обратимость: обратным для четного числа k является число которое также четно.

Эти условия выполнены. Таким образом, четные числа образуют подгруппу аддитивной циклической группы целых чисел.

Будет ли подгруппой группы N множество О всех нечетных чисел? Так как сумма двух нечетных чисел является четным числом, то это множество не замкнуто относительно сложения. Потому оно не составляет подгруппу.

Упражнение 26. Покажите, что

(a) множество всех чисел, кратных 3, образует подгруппу аддитивной циклической группы целых чисел;

(b) множество всех чисел, кратных n (где n — любое целое число), образует подгруппу аддитивной циклической группы,

Упражнение 27. Покажите, что если R и S — две подгруппы группы G, то множество элементов, принадлежащих одновременно подгруппам R и S, является группой следовательно, подгруппой группы

Упражнение 28. Докажите, что

(a) все комплексные числа , где а и b — целые числа, образуют группу относительно операции сложения;

(b) множество чисел где r и s — четные целые числа, образует подгруппу группы из п. (а).