Группа тетраэдра.

Значительный интерес представляют группы, связанные с самосовмещениями пяти правильных многогранников: тетраэдра, куба (гексаэдра), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Мы не можем подробно останавливаться на каждой из этих групп и ограничимся рассмотрением лишь группы тетраэдра.

Следует помнить, что в качестве групповой бинарной операции здесь, как и во всех группах движений, рассматривается суперпозиция, или «последовательное выполнение». (Советуем читателю для наглядности использовать какую-нибудь модель тетраэдра.)

Рис. 10.5.

Прежде всего подсчитаем, сколько различных элементов содержит группа самосовмещений правильного тетраэдра, а затем выделим некоторые основные движения, которые порождают всю группу. Для этого мы обобщим метод, который ранее использовался нами для изучения группы самосовмещений равностороннего треугольника (группы диэдра см. стр. 42).

Выберем за ось вращения перпендикуляр, опущенный из вершины 4 на плоскость треугольника с вершинами 1, 2 и 3, и зададим на ней направление, как показано на рис. 10.6. Мы рассматриваем стрелку на оси как конец правостороннего винта и обозначаем через r вращение на 120° в направлении ввинчивания винта. При вращении вокруг этой оси верхняя вершина 4 остается на месте и можно получить три различных положения тетраэдра, отмеченные на рис. 10.7 буквами Заметим, что изображенные на рис. 10.7 вращения исчерпывают все движения тетраэдра, при которых он совмещается сам с собой, а вершина 4 остается на месте.

Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении других вершин, и потому мы имеем всего нетождественных самосовмещений тетраэдра, при которых какая-либо одна вершина остается неподвижной. Легко видеть также, что единственными самосовмещениями тетраэдра, при которых ни одна из вершин не остается на месте, являются вращения на 180° вокруг трех его медиан.

Рис. 10.7.

Таким образом, существует всего двенадцать самосовмещений правильного тетраэдра. Группа тетраэдра имеет порядок 12.

Рис. 10.8.

Обозначим опрокидывание (вращение на 180°) относительно медианы АВ через . В результате этого движения тетраэдр переходит в новое положение, изображенное на рис. 10.8. (Заметим, что переставляет вершины каждой из пар 2, 4 и 1, 3.) На рис. 10.9 (соответственно на рис. 10.10) изображено положение, в которое переходит тетраэдр в результате последовательного выполнения движений r и f (соответственно ).

Читателю следует проверить, что все двенадцать самосовмещений тетраэдра являются комбинациями движений r и f т. е. r и f порождают группу тетраэдра. Отметим, в частности, что опрокидывание относительно каждой из трех медиан можно представить в виде слова от r и f.

Рис. 10.9.

Но эти движения, как мы уже видели, дают конкретное представление четверной группы (стр. 153). Следовательно, четверная группа является подгруппой группы тетраэдра.

Рис. 10.10.

Образующие элементы r и f можно представлять себе как отображения множества, состоящего из четырех вершин, на себя:

Отметим, что как r, так и f являются произведениями двух циклов, содержащих по два символа каждый.

Мы не в состоянии еще полностью оценить значение этого факта, которое прояснится в дальнейшем (стр. 193) при обсуждении симметрической и знакопеременной групп. Пока отметим только, что группу тетраэдра часто обозначают через , чтобы указать на совпадение ее со знакопеременной группой от четырех символов.

Граф группы тетраэдра . Построение графа группы будет проводиться аналогично построению графа группы диэдра (стр. 76).

Рис. 10.11.

Рассмотрим усеченный тетраэдр, изображенный на рис. 10.11,а). Треугольник при каждой вершине соответствует вращению порядка 3. На рис. 10.11, б) мы снабдили стороны треугольников стрелками, чтобы напомнить о вращении вокруг фиксированной вершины тетраэдра. Когда мы увидим, как из этого представления самосовмещений получается граф, станет ясно, почему мы выбрали именно такие направления, которые показаны на рисунке. Отрезок, соединяющий два треугольника, можно рассматривать как представление опрокидывания относительно медианы (порядок этого движения равен 2). Напоминаем, что образующие порядка 2 изображались на графе группы как один отрезок без стрелки; поэтому мы не ставим стрелок и на соответствующих ребрах тетраэдра, изображенного на рис. 10.11, б).

Заметим, что грани усеченного тетраэдра — это треугольники и шестиугольники. Чтобы перейти к двумерному представлению, сплющим наш тетраэдр так, чтобы в середине оказался треугольник или шестиугольник (рис. 10.12). В этих плоских представлениях каждый направленный отрезок, соответствующий вращению r на 120°, изображается непрерывной линией, а каждый отрезок, соответствующий опрокидыванию порядка 2, — пунктирной линией. Две сети, изображенные на рис. 10.12, топологически эквивалентны.

Рис. 10.12.

Мы утверждаем, что эти сети являются графами группы тетраэдра . Очень важно, чтобы читатель отдавал себе отчет в том, что построение модели, представляющей самосовмещения, не обязательно приводит к графу группы. В каждом конкретном случае следует проверять, что полученная сеть удовлетворяет всем требованиям, которым, как мы установили раньше, должен удовлетворять граф группы.

Определяющие соотношения для группы тетраэдра . В гл. 7 мы подробно рассмотрели группу диэдра . Аналогичные соображения показывают, что группа полностью определяется следующими данными:

(1) порождается двумя образующими, обозначаемыми через r и f;

(2) эти образующие удовлетворяют определяющим соотношениям

Упражнение 51. Пользуясь графом группы убедитесь, что Докажите то же самое, используя соотношения

На этом мы заканчиваем рассмотрение самосовмещений правильного тетраэдра. Краткие замечания по поводу групп, связанных с кубом и октаэдром, приведены на стр. 188, в приложении будут рассмотрены некоторые существенные особенности группы икосаэдра (и группы додекаэдра).