ГЛАВА 13. СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ГРУППЫ

В этой главе мы более подробно изучим группу всех отображений заданного конечного множества на себя. Такая группа называется симметрической группой. Если исходное множество содержит n элементов, то соответствующая симметрическая группа обозначается через

Рис. 13.1.

Предположим, что задано множество из двух элементов. Каковы все те отображения, или подстановки, которые составляют группу ? В ней всего лишь два элемента — отображения

Геометрически их можно представлять себе как совмещения прямолинейного отрезка; см. рис. 13.1. Эта группа самосовмещений является циклической группой , т. е. группа 52 изоморфна группе .

Рассмотрим теперь группу Когда мы отображаем на себя множество нам предоставляются три возможности для выбора образа элемента — это или . Как бы мы ни поступили, образом элемента должен быть один из двух оставшихся элементов. (Имеется лишь два элемента, которые могут стать образом элемента поскольку отображение должно быть взаимно однозначным.)

И наконец, образ элемента определяется уже однозначно. Итак, существует различных отображений множества, состоящего из трех элементов, на себя. Вот они:

Эти отображения геометрически можно представлять как самосовмещения равностороннего треугольника (см. рис. 13.2).

Рис. 13.2.

Мы узнаем в этой группе группу диэдра . Таким образом, группа изоморфна группе

Сформулируем без доказательства или каких-либо пояснений некоторые утверждения относительно группы

(1) Множество всех самосовмещений куба является группой, изоморфной группе

(2) Множество всех самосовмещений правильного октаэдра является группой, изоморфной группе .

(3) Тот факт, что группы самосовмещений этих двух многогранников (стр. 155) изоморфны одной и той же группе связан с тем, что куб и правильный октаэдр являются двойственными фигурами. (Еще одна пара двойственных многогранников указана в приложении.)

В общем случае, когда отображается на себя множество образ элемента можно выбрать способами, образ элемента можно выбрать способами и т. д. В конце концов для выбора образа элемента остается единственная возможность, так как остальные элементов уже «заняты» образами элементов Следовательно, симметрическая группа состоит из различных отображений, или подстановок. Если использовать обозначение

где читается как «n факториал», то можно сказать, что порядок группы равен