ПРИЛОЖЕНИЕ. ГРУППА ДОДЕКАЭДРА И ИКОСАЭДРА: ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА A5 ПОРЯДКА 60

Структура группы, связанной с додекаэдром и икосаэдром, существенно отличается от структуры всех групп, которые мы изучали до сих пор. Галуа, исследуя разрешимость алгебраических уравнений, обнаружил, что хотя у группы движений правильного икосаэдра много собственные подгрупп, но ни одна из них не является нормальной подгруппой. Группа, не имеющая собственных нормальных подгрупп, называется простой.

Группы самосовмещений додекаэдра и икосаэдра изоморфны друг другу, поскольку эти фигуры двойственны (стр. 189) - «центры» двенадцати правильных пятиугольников, соствляющих грани додекаэдра, являются вершинами икосаэдра, а «центры» двенадцати равносторонних: треугольников, образующих грани икосаэдра, являются вершинами додекаэдра. Группы самосовмещений обеих фигур «совпадают».

Определим теперь число элементов в группе икосаэдра. Для этого зафиксируем положение одной из вершин икосаэдра; вращение на 72° против часовой стрелки (имеющее порядок 5) порождает все самосовмещения, которые оставляют на месте указанную вершину; см. рис. 16.1. Поскольку в это положение может быть переведена любая из двенадцати вершин, то порядок группы икосаэдра равен 60.

Порядок группы равен (см. стр. 194), и мы утверждаем, что группа икосаэдра изоморфна группе

В справедливости этого утверждения читатель сможет убедиться, следуя тому методу доказательства, который кратко изложен в оставшейся части приложения.

Рис. 16.1.

Мы введем в рассмотрение множество, состоящее из пяти геометрических объектов и обладающее тем свойством, что любое самосовмещение икосаэдра вызывает четную подстановку на этом множестве. У икосаэдра 30 ребер и 15 медиан, т. е. отрезков, соединяющих вершины противоположных ребер. В правильном икосаэдре эти пятнадцать медиан разбиваются на пять множеств, каждое состоящее из трех взаимно перпендикулярных медиан, т. е. на пять ортогональных триад.

Самосовмещения икосаэдра вызывают четные подстановки на множестве этих пяти триад; действительно, каждое самосовмещение принадлежит к одному из следующих трех типов:

Всего существует 24 движения типа (1) (каждое из них имеет порядок 5), 20 движений типа (2) (каждое порядка 3) и 15 движений типа (3) (порядка 2).

Чтобы найти граф группы икосаэдра, прежде всего представим эти самосовмещения графически подобно тому, как мы поступали в случае тетраэдра (см. стр. 155).

Начнем с того, что изобразим усеченный икосаэдр, т. е. икосаэдр, у которого каждая вершина заменена пятиугольником, соответствующим вращению r порядка 5. Линии, соединяющие вершины этих двенадцати пятиугольников, соответствуют опрокидываниям порядка 2, замещающим вершины, лежащие на оси, вокруг которой происходят вращения.

Рис. 16.2.

Чтобы превратить эту конфигурацию в плоскую сеть, мы поместим внутри одного из пятиугольников все остальные и придем, наконец, к сети, изображенной на рис. 16.2.

Мы предлагаем читателю изучить внутреннюю структуру этой группы; здесь окажет помощь граф группы, играющий роль компактной таблицы умножения. Чтобы навести читателя на некоторые соображения по поводу этой структуры, мы поставили при каждой вершине графа цифру, указывающую порядок соответствующего элемента группы. (Элемент выбран произвольным образом.)

С помощью этого графа группы можно показать, что группа икосаэдра порождается двумя элементами r и f и определяется тремя соотношениями

Исходя из такого задания группы, можно установить, что — простая группа. Для этого прежде всего нужно доказать, что если g — произвольный гомоморфизм группы то как соотношение так и соотношение влекут за собой равенство для всех элементов а из группы затем нужно убедиться в том, что если для некоторого элемента группы то либо либо