Абстрактные группы.

Будем называть две изоморфные группы абстрактно равными и считать абстрактно равные группы одной и той же абстрактной группой. Именно благодаря этому приобретают полную определенность, например, такие термины, как «группа диэдра порядка 6» или «циклическая группа порядка 6». Утверждение, что две изоморфные группы абстрактно равны, не означает, что такие группы совершенно одинаковы; из него лишь следует, что они обладают одинаковыми групповыми структурными свойствами. Из упражнения 41 будет видно, что группа может быть изоморфна своей собственной подгруппе. Группа и одна из ее собственных подгрупп — это, конечно, не одно и то же, однако их групповая структура может быть одинаковой.

Можно показать, что существует лишь конечное число «абстрактно различных» групп порядка п. С точностью до обозначения элементов для множества, состоящего из n различных символов, существует лишь конечное число таблиц умножения, имеющих n клеток. Отметим, что группа диэдра порядка 6 и циклическая группа порядка 6 не изоморфны (и, следовательно, абстрактно различны), так как вторая из этих групп коммутативна, а первая — нет. Можно показать, что других абстрактных групп порядка 6 не существует. Аналогично, если p — простое число, то существует только одна абстрактная группа порядка p, и это, конечно, циклическая группа .

На основании этих примеров не следует делать вывода, что легко перечислить все абстрактно различные группы данного порядка. Известно, что существует 267 абстрактных групп порядка 64, но пока еще никто не подсчитал число абстрактных групп порядка 256.

Отождествление изоморфных групп и образование понятия абстрактной группы аналогично образованию понятия числа путем абстрагирования от его конкретных интерпретаций.

Число пять — это некая абстракция, которая возникает из рассмотрения конкретных множеств, состоящих из пяти элементов; например, пять пальцев, пять рублей, пять морей, пять гласных букв. Точно так же можно рассматривать конкретные представления абстрактной группы: существует лишь одна абстрактная циклическая группа четвертого порядка, но есть много ее конкретных интерпретаций.

Понятие изоморфных, или абстрактно равных, групп является очень важным: иногда мы можем существенно упростить доказательство теоремы, используя вместо некоторой группы ей изоморфную. Так как изоморфные группы имеют одну и ту же групповую структуру, теорема распространяется на все группы, изоморфные той, которая была использована в доказательстве.

Упражнение 41. Может ли группа быть изоморфна собственной подгруппе? Пусть G — аддитивная группа целых чисел (стр. 25). Пусть H — ее (собственная) подгруппа, состоящая из всех четных чисел. Покажите, что группу G можно изоморфно отобразить на группу Я, т. е. существует отображение f группы G на группу Я, такое, что

и

Упражнение 42. Распространите результат упражнения 41 на абстрактную группу (стр. 66). Пусть G — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом r, и H — ее (собственная) подгруппа, порожденная элементом Покажите, что группу G можно изоморфно отобразить на группу

Упражнение 43. Пусть G — бесконечная группа, порожденная элементом r, и пусть H — циклическая группа второго порядка с элементами , где . Покажите, что существует гомоморфизм группы G на группу Я? а изоморфизма не существует,

Упражнение 44. Пусть G — группа и r — некоторый ее фиксированный элемент. Если — любой элемент группы G, то и — элемент этой группы. Определим отображение формулой

Докажите, что f — изоморфизм группы на себя.

Упражнение 45. Пусть G — группа и f — отображение, ставящее в соответствие каждому элементу группы его квадрат. Таким образом, или Будет ли это отображение изоморфизмом? Может ли f быть гомоморфизмом, и если да, то для каких групп?