ГЛАВА 8. ПОДГРУППЫ

Изучение внутренней структуры конкретной группы позволяет установить многие ее свойства. Внутреннюю структуру некоторых групп можно описать с помощью их подгрупп. Слово «подгруппа» означает «I руппа внутри группы»; точнее, множество Н называется подгруппой группы G, если

(A) Каждый элемент множества Н является элементом группы G;

(B) Н есть группа (относительно бинарной операции, определенной в группе ).

Значение этих условий будет раскрыто в дальнейшем. Мы начнем с отыскания и исследования некоторых подгрупп в данной группе.

Рассмотрим циклическую группу порядка 4

и найдем ее подгруппы порядка 2. Так как подгруппа является группой и, следовательно, должна содержать элемент , то все подгруппы порядка 2 группы должны находиться среди множеств

Прежде всего мы видим, что все эти множества удовлетворяют условию (А), так как их элементы принадлежат группе Что же касается условия (В), то множество R из двух элементов было бы, очевидно, циклической группой порядка 2, если бы выполнялось соотношение . Но при определенной в группе бинарной операции . Таким образом, R не является подгруппой группы .

Пользуясь этим методом «проб и ошибок», убеждаемся, что единственной подгрупой порядка 2 группы является множество S. В дальнейшем для выявления подгрупп будет применяться более простой и систематический метод.

Для доказательства того, что множество образует группу относительно некоторой операции, например надо убедиться в выполнении всех групповых аксиом. Если мы знаем заранее, что рассматриваемое множество является подмножеством группы, то проверка выполнения аксиом упрощается. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим условие (В) из определения подгруппы. Сначала мы должны показать, что

(i) операция группы G, рассматриваемая лишь на элементах множества H, является бинарной операцией на множестве H.

Это сводится к проверке того, что если — два элемента множества H, то и принадлежит H. Если подмножество H группы G обладает этим свойством, то мы говорим, что оно замкнуто относительно операции (См. рассуждение о замкнутости на стр. 13.) Чтобы доказать, что Я — группа, нужно также проверить выполнение следующих условий:

(ii) операция ассоциативна;

(iii) обратный к любому элементу из множества принадлежит H;

(iv) единица группы G принадлежит множеству H.

Условие выполняется автоматически, так как — групповая операция группы G и, следовательно, она ассоциативна. Кроме того, условие следует из условий так как если h — элемент множества H, то, согласно условию элемент принадлежит H, а по условию также принадлежит H. Таким образом, подмножество H группы G является подгруппой группы G, если выполнены два условия:

(1) элемент принадлежит множеству H, если — элементы множества H (замкнутость)

(2) элемент принадлежит множеству H, если h принадлежит H (обратимость).

Упражнение 23. Покажите, что предыдущее утверждение эквивалентно следующему: подмножество Н группы G является подгруппой группы G, если элемент принадлежит Н, как только а и b принадлежат Н. (Это утверждение содержит лишь одно условие.)

Теперь мы используем условия (1) и (2), чтобы относительно каждого из подмножеств группы выяснить, является ли оно подгруппой. Если множество не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, то оно не может быть подгруппой. Для решения вопроса б замкнутости множества можно воспользоваться таблицей умножения элементов этих множеств (следует помнить, что ):

Таблица 8.1

Множество 5 является единственным среди рассматриваемых множеств, таблица умножения которого замкнута относительно групповой бинарной операции, т. е. содержит только элементы этого множества. Следовательно, множество S является подгруппой, если только оно удовлетворяет условию обратимости (2). Из таблицы умножения видно, что обратными для элементов являются элементы соответственно. Таким образом, обратный к любому из элементов множества S принадлежит поэтому S — подгруппа группы .

Есть ли в группе подгруппы порядка 3? Рассмотрим некоторое множество элементов группы состоящее из и двух других элементов, например множество

Так как входит в таблицу умножения множества D, но не является элементом множества D, то рассматриваемое множество не будет замкнутым относительно бинарной операции группы . Поэтому оно не является подгруппой. Читатель может легко убедиться, что и никакое другое подмножество из трех элементов группы не удовлетворяет условию (1). Таким образом, не содержит подгрупп порядка 3.

Каждая группа имеет две особые подгруппы. Множество, состоящее из всех элементов группы G, является подмножеством группы G и группой относительно определенной в ней бинарной операции. Поэтому группа будет подгруппой самой себя. Подмножество H, состоящее из единственного элемента удовлетворяет условиям (1) и (2), так как . Следовательно, каждая группа содержит подгруппу, состоящую из единственного элемента I.

Обычно нас будут интересовать подгруппы, отличные от этих особых подгрупп. Мы будем называть их собственными, а эти две особые подгруппы — несобственными.

Упражнение 24. Пусть — группа диэдра порядка 6 с элементами

и соотношениями

(a) Покажите, что — подгруппа группы .

(b) Найдите в подгруппу порядка 3.

(c) Есть ли в группе подгруппы порядка 4?

Упражнение 25. Пусть — циклическая группа порядка 5. Найдите все ее собственные подгруппы.