Основные свойства графа группы.

Наши примеры графов различных групп имеют некоторые общие существенные свойства.

Элементы группы находятся во взаимно однозначном соответствии с вершинами графа. Каждая вершина графа соответствует в точности одному элементу группы, и наоборот.

Каждое ребро графической сети есть направленный отрезок, и отрезки одного «гцвета» связаны с одной и той же образующей группы. Движение, начинающееся в некоторой вершине, вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, соответствует умножению справа на связанный с этим отрезком образующий элемент (назовем его а), в то время как движение вдоль отрезка в направлении, противоположном указанному стрелкой, соответствует умножению справа на элемент, обратный к образующей.

Например, если А, В и С на рис. 6.10 суть вершины графа, соответствующие элементам некоторой группы соответственно, то движение от В к С отвечает умножению элемента у на а, так что а движение от В к А отвечает умножению элемента у на т. е.

Рис. 6.10.

Каждое слово, представляющее элемент группы, можно интерпретировать как путь, или некоторую последовательность направленных отрезков графа, и наоборот. В каждой вершине пути, соответствующего некоторому слову, очередное движение определяется следующим сомножителем в слове. Так как любой сомножитель — это или одна из образующих, или элемент, обратный к образующей, то каждая вершина является концевой точкой двух направленных отрезков одинакового «цвета» — одного, направленного к вершине, и другого, направленного от нее. Если группа имеет две образующие, а и b, то в каждой вершине сходятся четыре ребра, так как четыре элемента а, соответствуют четырем возможным движениям, начинающимся в этой вершине. Вообще в каждой вершине есть одно «входящее» и одно «исходящее» ребро для каждой образующей.

Умножение двух элементов группы соответствует прохождению на графе пути, составленного из двух последовательных путей. Произведение элементов r и s группы можно интерпретировать как путь в графе, который строится следующим образом.

Запишем как слова от образующих и их обратных. Выходя из вершины, соответствующей элементу пройдем путь, описанный словом, определенным элементом . Конечная точка этого пути соответствует элементу . Теперь, принимая за начальную точку -вершину, пройдем путь, описанный словом, соответствующим элементу . Этот путь закончится в вершине, соответствующей элементу вне зависимости от того, какие слова используются для представления элементов

Любое слово, представляющее элемент I, соответствует замкнутому пути на графе. Предположим, что W — слово, представляющее элемент . Например, в группе самосовмещений равностороннего треугольника за W можно взять . Если принять вершину, соответствующую элементу за начальную точку, то путь, определяемый словом W, окончится в -вершине. Мы называем путь замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Если за начальную точку взята вершина, соответствующая элементу отличному от , то путь, заданный словом W, окончится в -вершине, так как . Таким образом, если W — слово, представляющее элемент , то путь, определяемый этим словом, будет замкнутым вне зависимости от того, какая точка принята за начальную.

Таким образом, граф группы обладает некоторым свойством однородности. Из этого свойства графа группы следует, что его вершины можно пометить так, чтобы любая наперед заданная вершина соответствовала элементу см. упр. 9 на стр. 74. (См. упр. 11. на стр. 74, чтобы получить пример графа с направленными ребрами, который не однороден, т. е. не является графом группы.

Граф из упр. 11 «дефектен», потому что содержит направленное ребро с совпадающими концевыми точками.)

Граф группы является связной сетью, т. е. существует путь из любой вершины в любую другую вершину. Если — два произвольных элемента группы, то существует элемент такой, что (стр. 50). Ясно, что если W — произвольное слово, представляющее элемент то таким образом, если вершина, соответствующая элементу , взята за начальную точку, то путь, описанный словом W, ведет от -вершины к -вершине.

Выпишем вместе все соответствия, установленные в ходе предыдущих рассуждений:

Так как мы можем произвольно выбирать вершину диаграммы Кэли, которая будет соответствовать элементу то граф является представлением одной и той же группы вне зависимости от того, помечены ли его вершины. Например, любая из неразмеченных диаграмм на рис. 6.11 полностью описывает циклическую группу порядка 4. Однако от стрелок, указывающих направление на ребрах, нам не следует пытаться избавиться. Рассмотрим два графа на рис. 6.12. Они отличаются только направлениями, которые предписаны ребрам внутреннего треугольника, но группы, которые они представляют, совершенно различны, так как только одна из них коммутативна (см. упр. 10 на стр. 74).

Здесь и далее мы будем помечать вершины графов групп постольку, поскольку это необходимо для большей ясности изложения.

Замечание о словах, представляющих элемент

Рис. 6.11.

Слово представляет элемент тогда и только тогда, когда соответствующий этому слову путь в графической схеме группы замкнут. (Напомним, что путь замкнут, если совпадают его начальная и конечная точки.) Мы можем выделить два совершенно различных вида замкнутых путей. Они показаны на рис. 6.13 как пути в графе группы движений равностороннего треугольника (см. стр. 67).

Рис. 6.12.

Оба пути замкнуты, но они существенно отличаются друг от друга как с топологической точки зрения, так и с точки зрения теории групп. Топология — это ветвь геометрии, которая изучает взаимное расположение геометрических объектов и совсем не интересуется такими их свойствами, как длина. Топология рассматривает лишь те свойства геометрической конфигурации, которые сохраняются при деформациях, не разрывающих линий и связей.

С топологической точки зрения пути, соответствующие словам существенно различаются между собой: замкнутый путь, соответствующий слову не проходит второй раз ни по одному из отрезков, в то время как замкнутый путь, соответствующий слову возвращается по себе назад, проходя каждый отрезок второй раз, в обратном порядке и направлении. (Читателю следует сравнить эту особенность пути со свойством элемента, обратного к произведению элементов в группе, которое рассматривалось на стр. 52.)

Основное различие между путями можно увидеть и исходя из аксиом, которые лежат в основе всех свойств группы.

Рис. 6.13. Слева изображен путь, ведущий из соответствующее слово Справа изображен путь, ведущий из соответствующее слово

Путь определяет элемент в любой группе, содержащей два элемента (которые мы обозначаем через и ), а путь определяет элемент I только в тех специальных группах, в которых

Чтобы убедиться в том, что в любой группе, выпишем следующие соотношения:

Путем применения аксиом группы мы последовательно исключаем все символы, обозначающие образующие и обратные к ним, и сводим слово Мы называем пустым словом, так как, применяя аксиомы группы, можно убедиться, что оно отлично от любого элемента группы, кроме Итак,

(1) Замкнутый путь в графической сети, которым можно возвратиться назад, проходя по каждому отрезку второй раз (изменив на обратные и порядок прохождения отрезков и направление движения по ним), соответствует пустому слову.

(2) Все другие замкнутые пути соответствуют специальным соотношениям между образующими группы, которые не обязаны выполняться в произвольной группе.

Упражнение 9. Пусть на графе группы самосовмещений равностороннего треугольника (рис. 6.7) в качестве выбрана вершина внутреннего треугольника, первоначально обозначенная через . Нарисуйте диаграмму Кэли этой группы, соответствующим образом обозначив все вершины.

Упражнение 10. Возьмите диаграмму Кэли группы самосовмещений равностороннего треугольника и видоизмените ее, направив стрелки на внутреннем треугольнике в противоположную сторону, а все остальное оставив без изменения. Затем обозначьте вершины внутреннего треугольника в соответствии с таким изменением направления на отрезках и составьте таблицу умножения этих шести элементов, используя для определения новых произведений видоизмененный граф. Будет ли это множество группой?

Упражнение 11. Ниже изображен граф, состоящий из направленных ребер двух типов, или «цветов», обозначенных через r и s. Граф связен, и в каждой из трех его вершин A, В, С можно начать четыре движения, соответствующие четырем возможным сомножителям в слове: Докажите, что тем не менее этот граф не может быть графом группы: составьте слово от r и s или их обратных, которое в одной из вершин соответствовало бы замкнутому пути, а в другой — нет. (Попробуйте, например, слова )

Распознавание графов групп. Уже отмечалось, что диаграмму Кэли группы можно деформировать любым способом, но только так, чтобы не разорвалась ни одна связь между вершинами. Например, на рис. 6.14 изображена деформация диаграммы Кэли группы самосовмещений равностороннего треугольника. (См. рис. 6.7 на стр. 67.) Диаграмму Кэли этой группы можно деформировать в трехмерную сеть (рис. 6.15).

Трехмерный граф точно передает действительные физические движения, составляющие эту группу.

Рис. 6.14.

Рис. 6/15.

Нижний треугольник ABC можно принять за изображение неопрокинутого треугольника со стрелками, соответствующими вращениям в плоскости треугольника. Верхний треугольник DEF изображает треугольник после того, как его опрокинули, и дает положения, которые принимает вращающийся после опрокидывания треугольник. Пары образующих петлю дуг в каждой из вершин отражают обратимый характер опрокидывания.

Эта связь между диаграммой Кэли и графическим представлением совокупности движений является счастливой случайностью. Мы иногда будем действовать в обратном порядке: начинать с изображения множества движений, составляющих группу, а затем путем абстрагирования получать из него диаграмму Кэли этой группы.