ГЛАВА 2. АКСИОМЫ ГРУППЫ

В предыдущей главе мы сосредоточили наше внимание на понятии бинарной операции. Однако читатель не должен думать, что наличие бинарной операции является единственным определяющим признаком группы. Бинарная операция на множестве элементов должна, кроме того, обладать некоторыми свойствами, чтобы это множество вместе с данной бинарной операцией представляло собой группу. Эти основные свойства описываются аксиомами. Мы потребуем выполнения трех следующих аксиом: (1) ассоциативность, (2) о единичном элементе, (3) об обратных элементах.

Ассоциативность. Свойство ассоциативности состоит в том, что для любых трех элементов r, s, t исходного множества выполняется равенство

т. е. если является элементом исходного множества, а — элемент у этого множества, то .

Рассмотрим группы А и В (см. стр. 10). В группе А ассоциативность означает, что

для любых целых чисел r, s, t. Например,

и

В группе В имеет место равенство

Например,

и

Из элементарной алгебры мы знаем, что бинарные операции в группах А и В ассоциативны.

Рассмотрим теперь деление как бинарную операцию на множестве положительных рациональных чисел и проверим, выполняется ли для него свойство ассоциативности.

Имеем

в то время как

следовательно,

Таким образом, деление не является ассоциативной бинарной операцией на множестве положительных рациональных чисел.

Какой смысл следует придавать выражению Как применить бинарную операцию сразу к трем элементам данного множества? Можно придать определенное значение выражению заключив в скобки либо два первых, либо два последних символа. В первом случае выражение примет вид а во втором — . Так как есть бинарная операция на нашем множестве, то являются элементами этого множества. Значит, и можно рассматривать как выражения, в которых участвуют лишь два элемента рассматриваемого множества, а именно у к t в первом случае и r и х во втором.

Если бииарная операция не ассоциативна, то элементы вообще говоря, различны, и

Элемент называется обратным к элементу а. Ясно, что обратным к элементу будет . В обозначении для обратного элемента используется отрицательный показатель степени, как и в элементарной алгебре, где обратный к любому и обозначается через

Подытожим теперь все сказанное о группе. Группой называется множество G с бинарной операцией на нем, такое, что выполняются следующие аксиомы:

Аксиома 1 (ассоциативность). Для произвольных элементов r, s, t из G

Аксиома 2 (о единичном элементе). В группе G существует единственный элемент , такой, что

Аксиома 3 (об обратных элементах). Для любого элемента r из G существует единственный элемент из такой, что

Читатель не должен думать, что это аксиоматическое определение группы целиком и полностью сложилось в уме какого-то одного математика. Часто математические понятия являются результатом деятельности многих математиков; процесс их развития протекает неравномерно, скачками, порой он заводит в тупик, а порой приводит к неожиданным открытиям. Формальные аксиомы, которые легли в основу определения группы, были сформулированы в явном виде лишь спустя почти 100 лет после начала работы в области теории групп. Первая важная теорема была сформулирована и доказана в 1771 г. Лагранжем. (Мы рассмотрим ее в одной из последующих глав.)

Коши, чья деятельность в области теории групп началась в 1815 г., рассматривал только группы, элементы которых представлены в виде подстановок. Слово «группа» было введено в 1832 г. Галуа, впервые показавшим, что группу можно определить и не используя в качестве элементов подстановки. И лишь к 1854 г. процесс выявления структуры группы достиг той стадии, на которой Кэли сумел показать, что группу можно определить, не упоминая о конкретной природе ее элементов. Структура группы зависит, как показал Кэли, лишь от того, как задана операция на парах элементов.

Прежде чем перейти к дальнейшим примерам групп, упростим и обобщим обозначения, используемые для бинарной групповой операции. Опыт элементарной алгебры подсказывает, что удобно писать — с вместо а и читать это так: элементу а, умноженному на элемент b, сопоставляется элемент ab, называемый произведением а и b (и обозначаемый через с). В дальнейшем мы не обязательно будем использовать символ 0 для обозначения бинарной операции; часто мы будем употреблять обозначение ab для группового произведения элементов а и иногда произведение в группе мы будем записывать так: .

«Умножение» как общий термин для групповой операции не следует путать с умножением в обычной арифметике.

Может случиться, что элементами группы являются числа, а групповой операцией — обычное умножение. Но это частный случай. В общем же случае групповое умножение следует рассматривать как абстрактное обобщение умножения чисел.

Предостережение. Хотя на элементах данного множества можно определить много операций, в каждой конкретной группе определена единственная операция, которая является групповой операцией именно этой группы.