ГЛАВА 7. ЗАДАНИЕ ГРУППЫ ОБРАЗУЮЩИМИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ СООТНОШЕНИЯМИ

Мы видели, что конкретная группа может быть определена следующими способами:

(i) Как множество элементов с бинарной операцией, удовлетворяющей трем групповым аксиомам. Это основное определение, из которого можно получить все другие.

(ii) При помощи квадратной таблицы символов, которую мы назвали таблицей умножения группы и свойства которой были разобраны в гл. 4. Такая таблица задает группу, поскольку в ней указаны все произведения элементов группы.

(iii) При помощи графической схемы (сети), составленной из направленных отрезков и обладающей основными свойствами, которыми (как мы установили) должен обладать граф группы. Внутренней структурой такой сети группа вполне определяется, так как нам известно, каким образом последовательному прохождению путей должно соответствовать умножение элементов группы.

Цель этой главы — показать, что есть еще один способ задания группы — с помощью образующих и определяющих соотношений. С образующими мы уже сталкивались в одной из предыдущих глав.

Циклическая группа С3.

Мы начнем с изучения простой ситуации, возникающей в группе циклической группе порядка 3. Это группа вращений равностороннего треугольника в плоскости (стр. 26). Группа как циклическая группа может быть порождена одним из своих элементов, например r, и три ее элемента можно представить как

Рассмотрим теперь обратную ситуацию:

Будут ли эти условия полностью определять структуру группы G? В частности, обязательно ли группа G будет циклической группой порядка 3? Ответ на эти вопросы отрицательный. Достаточно обратить внимание на то, что соотношение выполняется для — значит, группа G может состоять из одного элемента, т. е. быть группой порядка 1. Поэтому, чтобы полностью определить группу G, мы должны видоизменить наше описание. Мы утверждаем, что если условие (2) заменить условием

(2) единственное соотношение образует множество определяющих соотношений группы G, то условия (1) и (2) вполне определяют G как циклическую группу порядка 3. Чтобы пояснить это утверждение, надо указать точный смысл слова «соотношение» и затем перейти к понятию «определяющие соотношения» группы. Только тогда мы сможем решить вопрос, является ли «соотношение» в группе определяющим соотношением этой группы.

Соотношение — это равенство вида

где - слово в группе (стр. 62). Есть два существенно различных типа слов W, для которых может выполняться равенство Первый тип — это слова, для которых утверждение

означает, что слово представляет собой тот же элемент группы, что и (такие, как или в группе ). Это равенство не является следствием групповых аксиом и в произвольной группе может не выполняться. Например, в группе порожденной элементом r, не справедливо равенство Напротив, равенство

является прямым следствием аксиомы группы (об обратных элементах) и выполняется для любого элемента r любой группы.

Заметим, что — пустое слово, т. е. такое, что все образующие группы исчезают, когда мы применяем к нему групповые аксиомы и заменяем пары стоящих рядом взаимно обратных элементов элементом (стр. 73). Но слово не пустое слово, и только в некоторых специальных группах справедливо соотношение Примем такое соглашение: в определении соотношения из рассмотрения исключается случай, когда W — пустое слово. Читатель должен помнить, что оба равенства соответствуют в графе группы замкнутым путям, причем второе — тривиальному пути (ведущему «обратно» по тем же отрезкам, что и «туда»), а первое — нетривиальному замкнутому пути (см. стр. 72—73).

Мы будем пользоваться таким определением соотношения в группе: если W — непустое слово в группе G и

то это равенство называется соотношением группы G. Так как слово W является произведением образующих группы G, то мы также будем говорить, что — соотношение между образующими группы

Чтобы ввести понятие определяющих соотношений группы G, рассмотрим множество, состоящее из всех нетривиальных соотношений группы G, т. е. множество где — непустое слово. Обозначим это множество через А.

Остановимся предварительно на таком вопросе: может ли множество соотношений А быть пустым (не содержать ни одного элемента)? Существует ли группа, в которой нет соотношений между образующими?

Тривиальную группу, состоящую из единственного элемента можно было бы рассматривать как группу без соотношений между образующими. Но мы определим ту же группу, если скажем, например, что она имеет образующие а и b, удовлетворяющие соотношениям . В этом случае любое слово равно Чтобы исключить из рассмотрения эту ситуацию, ограничимся группами, в которых существует по крайней мере одно слово, не равное Примером группы без соотношений является бесконечная циклическая группа порожденная элементом а. Мы видели (стр. 65), что если слово этой группы непусто, то оно не может равняться так как при ; таким образом, группа G не имеет соотношений, в которые входила бы ее единственная образующая а. Бесконечная циклическая группа С», порожденная одним элементом, принадлежит классу групп, не имеющих соотношений. Такие группы называются свободными.

Предположим, что множество А содержит хотя бы одно соотношение . Мы покажем, что тогда А содержит бесконечно много соотношений. Для этого достаточно применить к соотношению групповые аксиомы. В частности, тогда

и аналогично Последовательным умножением на слово, равное получаем

Это показывает, что из одного соотношения можно в качестве следствий получить бесконечно много соотношений, и А должно содержать бесконечно много соотношений , где — непустые слова. Из соотношения и групповых аксиом вытекают не только соотношения вида . Ясно, что если W — произвольное слово от образующих группы G, то .

Более того, можно показать, что множество всех соотношений, которые можно вывести из соотношения , получается приравниванием к всевозможных произведений с сомножителями вида

Вернемся к множеству А всех нетривиальных соотношений группы G (не забывая о только что сделанных выводах) и выберем в нем, если это возможно, подмножество В, такое, что соотношения из В елекут за собой все соотношения из множества A. Это множество В соотношений называется множеством определяющих соотношений группы G. Хотя бы одно множество В определяющих соотношений существует (если А непусто), так как в качестве В можно взять все множество А. Однако более интересной и плодотворной оказывается ситуация, когда В является собственным подмножеством множества А (т. е. когда оно не совпадает с A).

Прежде чем перейти к деталям, связанным с рассмотрением конкретных групп, мы разъясним, что подразумевается под выражением: «соотношения из множества В влекут за собой все соотношения из множества A». Оно означает, что, применяя групповые аксиомы, можно все соотношения из множества A получить из соотношений, входящих в множество мы уже видели, например, как можно из единственного соотношения вывести бесконечно много соотношений

Вернемся теперь к вопросу о том, будет ли соотношение определяющим соотношением группы — циклической группы порядка 3 с образующей r. Образуем прежде всего множество A всех соотношений в (напомним, что любое слово от может быть записано как степень элемента r). Имеем

Отметим, что множество A можно также описать следующим образом (стр. 34):

Любое нетривиальное соотношение группы лежит в множестве так как если было соотношением группы то как следствие мы получили бы, что

Но в группе следовательно, и Аналогично, равенство влечет за собой соотношение которое не выполняется в группе

Мы утверждаем, что в качестве множества В определяющих соотношений группы можно взять одно соотношение

Любое соотношение из множества А является следствием этого соотношения и аксиом группы. Действительно,

и потому

Таким образом, соотношение влечет за собой соотношения а это в точности все соотношения из множества А. (Мы исключаем из рассмотрения случай так как — пустое слово.)

Можно указать другие множества определяющих соотношений группы например, одно соотношение или два соотношения

Потенциальные возможности понятия определяющих соотношений полностью раскрываются в следующей общей теореме, которая утверждает, что любое множество соотношений между образующими на произвольном множестве образующих полностью задает некоторую группу:

Теорема 2. Если задано множество В соотношений где каждое есть непустое слово от заданного множества символов, то существует группа G, для которой В является множеством определяющих соотношений.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки содержания данной книги.

Тем не менее мы проиллюстрируем ее на примере двух множеств определяющих соотношений.

Нам необходимо понятие эквивалентных слов. Рассмотрим два слова:

Если рассматривать эти слова как последовательности символов, обозначающих образующие и обратные к ним элементы, то они различны, поскольку отличаются первыми (и вторыми) символами. Но если рассматривать их как форму записи элементов группы, то они определяют один и тот же элемент, поскольку

и

Слова мы будем называть эквивалентными, если они определяют один и тот же элемент группы.

Отметим, что мы «преобразовали» в , вычеркивая сочетания как только они появлялись. Рассмотрим теперь слова

в циклической группе . Мы уже видели, что эта группа определяется соотношением (которое влечет за собой соотношение ). «Преобразуем» слова и вставляя или вычеркивая слова, равные

и

Мы будем говорить, что эквивалентные слова в группе будучи различными, они представляют один и тот же элемент циклической группы .

Это понятие эквивалентности можно обобщить с тем, чтобы оно было применимо к любым двум словам от произвольного множества символов: слово эквивалентно слову если можно преобразовать в слово вставляя или вычеркивая слова, равные I.

Так как операции вставки и вычеркивания обратимы, то процесс преобразования слова в слово можно «обратить» и преобразовать слово . Это замечание служит обоснованием следующего утверждения: если эквивалентно , то эквивалентно Мы предоставляем читателю показать, что если такие слова, что эквивалентно эквивалентно то эквивалентно . Этими свойствами должно обладать отношение, которое называется отношением эквивалентности.

Используя понятие эквивалентности, разобьем множество слов на классы эквивалентных слов. Пусть F — множество всех слов от заданного множества символов, т. е. F — множество всех конечных последовательностей символов, которые являются образующими или их обратными. Все слова из F делятся на классы следующим образом: если — эквивалентные слова из F, то принадлежат одному классу; если — не эквивалентные слова из F, то не лежат в одном классе. Иначе говоря, слова лежат в одном классе тогда и только тогда, когда они эквивалентны. (Общая проблема, состоящая в том, чтобы решить в случае произвольной группы, будут ли два слова эквивалентны, крайне трудна. Эта проблема, известная как проблема тождества слов, решена для сравнительно немногих групп). Пример того, как можно разбить F на классы эквивалентных слов, будет дан ниже, когда мы вернемся к группе, определяемой соотношением . Когда множество F разбито на классы эквивалентных слов, задающих один и тот же элемент группы, мы можем в качестве представителя класса выбрать любое его слово.

Вернемся к теореме 2 (стр. 83) и дадим набросок основной процедуры построения группы при помощи образующих и соотношений. Мы сделаем это в абстрактных и общих терминах, которым придадим в дальнейшем конкретный смысл, когда будем разбирать некоторые примеры.

(1) Зададим множество порождающих символов и множество В соотношений , где каждое есть непустое слово от заданных символов.

(2) Рассмотрим множество F всех слов от заданных порождающих символов.

(3) Образуем подмножество К, состоящее из всех слов W из таких, что равенство есть следствие заданного множества соотношений Один из способов «построения» К указан в приведенном ниже замечании.

(4) Разобьем F на классы эквивалентных слов, т. е. таких слов, которые могут быть преобразованы одно в другое с помощью вставки и вычеркивания слов, равных I.

(5) Выберем множество G представляющих слов по одному из каждого класса эквивалентности. Любое такое множество G есть группа, для которой заданные соотношения являются определяющими.

Замечание о построении множества К. Мы утверждаем, что К есть множество всех произведений (т. е. конечных последовательностей) слов вида или где — соотношение из заданного множества В, а Т — произвольное слово из F. Если то ясно, что любое слово описанного вида равно так как Обратно, можно показать, что если V — слово из F и если равенство есть следствие наших соотношений, то V есть произведение сомножителей вида