Некоммутативная группа.

Хотя мы уже приводили примеры не коммутирующих между собой пар элементов, некоммутативной группы мы еще не видели. Напомним, что коммутативной группой называется группа, любые два элемента которой коммутируют между собой. Такую группу называют также абелевой в честь Н. X. Абеля, впервые применившего такие группы к теории уравнений.

Если в группе существует два не коммутирующих между собой элемента, то группа называется некоммутативной независимо от того, сколько найдется в ней пар коммутирующих между собой элементов. Может ли существовать группа, в которой никакие два элемента не перестановочны? Ясно, что нет, так как любая группа содержит единичный элемент, который коммутирует с каждым ее элементом.

Построим теперь некоммутативную группу порядка 6. В дальнейшем станет ясно, что это наименьший из всех возможных порядков некоммутативных групп. Для построения группы рассмотрим движения равностороннего треугольника, в результате которых он совмещается с самим собой. Мы уже рассматривали одно множество таких движений, но тогда налагалось ограничение, что треугольник должен вращаться в своей плоскости. Эти вращения, как мы убедились, образуют группу третьего порядка. Если отбросить указанное ограничение, то станут возможными новые движения, поскольку треугольник теперь можно опрокидывать. Например, опрокидывая треугольник относительно какой-либо его высоты, мы совмещаем его с самим собой, но это движение не совпадает ни с одним из рассмотренных в примере 5 (стр. 26) вращений. Мы увидим, что теперь существует уже шесть положений, в которых треугольник совпадает с самим собой. Мы обозначим их через (по причинам, которые станут ясны читателю позже). Эти положения изображены на рис. 4.1. (Время от времени мы будем давать геометрическую интерпретацию групповых свойств, взывая к интуитивному пространственному представлению читателя.

Рекомендуем воспользоваться какой-либо моделью, например вырезать из бумаги равносторонний треугольник, и воспроизводить те движения, которые мы здесь описываем.)

При построении нашей группы мы применим способ, аналогичный использованному в примере 5 (стр. 26).

Рис. 4.1.

Такие способы оказываются удобными в тех случаях, когда мы имеем дело с группой движений.

Символу, которым обозначается движение, часто придается некоторое конкретное значение. В этом разделе символ r означает поворот на 120° против часовой стрелки вокруг оси, проходящей через центр равностороннего треугольника, хотя этот же символ может обозначать любой другой элемент множества А вращений против часовой стрелки на углы Аналогичным образом позже мы введем движение , которому придадим для наглядности конкретное значение, хотя тот же символ будет представлять любой элемент из некоторого множества движений. Существенно здесь то, что мы будем рассматривать как «одно и то же» движение все те движения, которые одинаковым образом объединяют в пары вершиньс треугольника.

Нам хотелось бы иметь наглядное изображение движений нашей группы, однако мы не можем сделать этого с помощью тех неподвижных диаграмм, которые используются в этой книге. И потому мы предлагаем читателю интерпретировать эти диаграммы так, как это объяснялось на стр. 32, а именно если символ обозначающий движение, приписан диаграмме, изображающей положение фигуры, то мы будем считать, что диаграмма изображает движение которое переводит фигуру из заданного исходного положения в положение, отмеченное символом

Рис. 4.2.

В дальнейшем мы убедимся, что удобно через r обозначать вращение на 120° против часовой стрелки вокруг оси, проходящей через центр треугольника перпендикулярно его плоскости. Тогда первые три положения, как мы уже видели, передают движения (Напомним, что I есть вращение на угол )

Чтобы получить одно из новых положений, необходимо опрокинуть треугольник. Мы достигнем этого, повернув треугольник на 180° вокруг высоты, проходящей через одну из вершин. Выберем в качестве оси вращения высоту, проходящую через вершину 2. Вращение на 180° вокруг этой высоты (как оси вращения) мы обозначим через f. Конечно, f может быть и любым вращением на угол вокруг этой оси. Оно изображено на рис. 4.2.

Попытаемся уяснить себе, что следует понимать под символом . Положения, помеченные на рис. 4.1 символами f и показаны отдельно на рис. 4.3. Когда мы смотрим на этот рисунок, то создается впечатление, что r обозначает вращение на 120° по часовой стрелке, а не против, как мы условились прежде.

Рис. 4.3.

Это кажущееся противоречие исчезнет, если мы заметим, что опрокидывание треугольника приводит к изменению направления оси вращения на противоположное. Прежде всего нам надо подробнее описать вращение . За ось вращения мы взяли прямую, проходящую через центр равностороннего треугольника перпендикулярно его плоскости.

Рис. 4.4.

На этой оси задано направление, как показывает стрелка на рис. 4.4, и наше вращение связано со следующим объединением вершин в пары: (т. е. вершина 1 замещается вершиной 2, вершина 2 — вершиной 3 и вершина 3 — вершиной 1).

Представим себе теперь, что направляющая стрелка оси — это нарезанный конец правостороннего винта. Чтобы выполнить вращение , повернем треугольник на 120° в направлении, в котором мы стали бы ввинчивать правосторонний винт.

Если первый треугольник подвергнуть движению то он займет положение, которое помечено буквой f на рис. 4.5. Заметим, что направление оси изменилось при этом на противоположное. Если после этого треугольник подвергнуть вращению , которое можно интерпретировать как ввинчивание правостороннего винта, то он займет положение, помеченное на рис. 4.5 символом

Рис. 4.5.

Таким образом, применяется ли вращение к треугольнику, находящемуся в положении, помеченном символом или к треугольнику, находящемуся в положении, помеченном буквой оно одинаковым образом разбивает на пары вершины треугольника:

Множество, состоящее из шести классов движений, изображенных с помощью шести положений треугольника, с бинарной операцией суперпозиции, или «последовательного выполнения», образует группу. Мы знаем, что эта операция ассоциативна и что единичный элемент является элементом рассматриваемого множества. Справедливость аксиомы об обратном элементе очевидна в силу следующих интуитивных соображений: если данное движение преобразует одно положение в другое, то существует преобразование, возвращающее фигуру в исходное положение (обратное преобразование).

Поучительно продемонстрировать некоторые групповые свойства с помощью таблицы умножения. Отметим, что (это следует из самого характера рассматриваемых движений). Используя эти свойства, составим табл. 4.5. Чтобы завершить построение таблицы умножения нашей группы, надо представить каждое из стоящих в ячейках табл. 4.5 выражений как один из элементов

Таблица 4.5

Мы проведем подробно упрощение двух из этих выражений, а остальное предоставим сделать читателю. Прежде всего покажем, что Рассмотрим последовательность диаграмм на рис. 4.6.

Рис. 4.6.

Первая из них изображает движение Исходя из этого положения треугольника, произведем его поворот на 180° вокруг высоты, проходящей через вершину 2. В результате получается движение (последовательно выполняются движения ), изображенное на второй диаграмме. Затем мы повернем треугольник на 120° в направлении, как если бы мы ввинчивали правосторонний винт, вокруг оси, проходящей через центр; окончательный результат изображен на последней диаграмме и выглядит как начальное положение, обозначенное через

Таким образом, .

Теперь покажем, что при помощи диаграмм на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

Используя все такие упрощенные произведения, мы составим табл. 4.6.

Таблица 4.6

Таблица показывает, что

(1) Операция «последовательною выполнения» является бинарной операцией на нашем множестве элементов.

(2) Аксиома об обратных элементах выполнена, так как I встречается точно один раз в каждой строке и столбце. Мы можем сразу определить обратный для любого элемента группы.

Например, схема

показывает, что .

(3) Группа некоммутативна. Достаточно беглого взгляда на элементы таблицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, чтобы убедиться, например, в том, что .

(4) Строки и столбцы являются перестановками элементов верхней строки или левого столбца соответственно — «совпадение», уже отмечавшееся прежде.

(5) - квадрат в левом верхнем углу — это в точности таблица умножения группы порядка 3 вращений равностороннего треугольника в его плоскости. На другом конце главной диагонали, в правом нижнем углу расположен -квадрат, который получается перестановкой элементов левого верхнего квадрата. В левом нижнем и правом верхнем углах находятся -квадраты, которые воспроизводят два «главных» (расположенных на главной диагонали) квадрата с той лишь разницей, что перед каждым элементом стоит символ f. Если М означает множество элементов в левом верхнем квадрате, то табл. 4.7 в схематической форме отражает только что описанные особенности внутреннего строения таблицы умножения:

Таблица 4.7

Эта схема наводит нас на размышления о возможностях дальнейшего уточнения методов анализа структуры группы. Мы исследуем эти возможности в главе, посвященной нормальным подгруппам и факторгруппам.