ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Основное содержание этой книги связано с решением своеобразных геометрических задач на максимум и минимум. В распространенных задачах такого рода обычно требуется найти «наилучшую» или «самую выгодную» (в определенном смысле) из какого-то класса геометрических фигур; например, можно потребовать отыскать треугольник наименьшего возможного периметра, вписанный в данный треугольник или плоскую фигуру наибольшей площади, имеющую заданный периметр. В рассматриваемых же здесь задачах требуется найти «наилучшее» («самое выгодное») расположение дискретной системы фигур (или точек); типичными здесь являются проблемы о самом выгодном заполнении плоской области Т данными фигурами (например, кругами) и самом выгодном покрытии плоской области Т данными фигурами (например, кругами), требующие разместить внутри Т наибольшее возможное число непересекающихся фигур или полностью покрыть Т наименьшим возможным числом фигур. Весь этот круг вопросов (не очерченный, пожалуй, пока еще с полной определенностью), часто называют дискретной геометрией, к нему примыкают также сравнительно мало затронутые в настоящей книге задачи о телах в целочисленных точечных решетках, образованных всеми точками, имеющими в определенной декартовой прямоугольной (или аффинной) системе координат целые координаты (вроде знаменитой задачи Г. Минковского о центрально-симметричной плоской фигуре наибольшей возможной площади, имеющей центр в точке решетки и не содержащей, кроме центра, никаких других точек решетки).

Первые шаги в этом направлении были сделаны создателями геометрических методов теории чисел Г. Минковским и Г. Ф. Вороным еще в начале этого столетия (см., например, Минковский Г. [2] и Вороной Г. Ф. [1] ; также и в последующие годы дискретная геометрия развивалась в первую очередь трудами специалистов по теории чисел, заинтересованных в этом разделе геометрии в качестве «потребителей» (ибо задачи подобного рода находят многочисленные применения в теории чисел). Однако, несмотря на солидный список примыкающих сюда работ, дискретную геометрию до последнего времени нельзя было считать настоящей математической дисциплиной, поскольку законченных результатов здесь было получено весьма немного. Причина этого кроется в большой сложности стоящих здесь задач Так, например, для неспециалиста, вероятно, покажется удивительным, что одна из основных (и самых старых) задач дискретной геометрии задача о плотнейшем расположении в пространстве равных материальных шаров — не решена еще до сих пор с полной строгостью (хотя соответствующий результат геометрии на плоскости имеет много разных доказательств: при наиболее плотном расположении на плоскости равных непересекающихся кругов каждый круг должен быть окружен шестью другими). Еще более удивительным представляется, что интересовавший еще Ньютона вопрос о наибольшем числе равных материальных шаров, которые можно приложить к шару того же размера, с первого взгляда кажущийся совсем несложным, получил строгое решение лишь в самое последнее время, по существу уже после выхода в свет немецкого оригинала книги (см. примечание [162| на стр. 325; отметим, что соответствующая плоская задача тривиальна: ясно, что к кругу нельзя приложить более шести равных ему непересекающихся кругов). Из-за бедности полученных здесь результатов не существовало также ни одного сводного изложения всего этого круга вопросов, хотя стоящие здесь задачи (в первую очередь задачи, относящиеся к -мерному пространству) находят применение во многих вопросах математики, техники и естествознания — в теории чисел, в математической кристаллографии, в топологии (см., например, приложение II к настоящей книге), в теории информации и общей теории связи (см., например, Шеннон К. [1] Блох Э Л. и Харкевич А. А. [1]).

Первой монографией, специально посвященной вопросам дискретной геометрии, является настоящая книга, вышедшая в свет на немецком языке в 1953 г. Автор ее — известный венгерский геометр Ласло Фейеш Тот — занимается относящимися сюда вопросами около 15 лет; полученные им результаты составляют основную часть содержания книги. Также и большинство других изложенных здесь теорем сравнительно «молоды»: лишь незначительная часть их насчитывает более 20 лет. Вообще интерес к дискретной геометрии за последнее десятилетие значительно возрос, и это в большой степени является заслугой автора настоящей книги. Правда, надо отметить, что большинство полученных математиками в последние годы результатов относится к сравнительно простым задачам двумерной (в лучшем случае трехмерной) дискретной геометрии. Поэтому надо с самого начала предупредить читателя, что в этой книге не следует искать готовых результатов, которые можно с успехом применить в теории чисел или в теории связи: почти все внимание здесь сосредоточено на вопросах двумерной евклидовой и сферической геометрии, не особенно ценных для приложений. Однако как введение в актуальные проблемы дискретной геометрии эта книга весьма поучительна.

Книга в основном адресовша молодым геометрам. Большинство рассмотренных здесь задач не является фундаментально важными (хотя зачастую они и связаны с проблемами серьезного теоретического значения), однако все они интересны по формулировке, и решение их отнюдь не тривиально. Использованные здесь методы, часто тонкие и изящные, связаны в основном с элементарно-геометрическими рассмотрениями и требуют минимума знаний. Изложение автора — живое и яркое (эту живость мы попытались сохранить и в переводе) — весьма способствует тому, чтобы заинтересовать читателя и привлечь его внимание к излагаемым проблемам. Доказательства проведены весьма отчетливо, каждый раз с полным выяснением основных идей и движущих пружин.

При этом ценность книги значительно увеличивается обилием поставленных проблем и указанием возможных направлений самостоятельной работы. Следует отметить, что в противоположность -мерным проблемам дискретной геометрии, имеющиеся здесь двумерные задачи сравнительно не сложны и могут оказаться под силу начинающим математикам.

В русском переводе книга сопровождается довольно многочисленными примечаниями редактора. При этом существуют двоякого рода причины, побудившие меня к составлению этих примечаний. Первая из них заключается в известном несоответствии между элементарностью содержания настоящей книги и характером изложения. Хочется надеяться, что эта книга заинтересует широкие круги читателей, в том числе студентов младших курсов университетов и пединститутов и преподавателей средней школы; она может быть также с успехом положена в основу работы студенческого математического кружка, а опытный учитель сумеет использовать кое-что из нее и в работе школьного кружка. Между тем книга в том виде, в каком она вышла в свет в хорошо известной всем математикам «желтой серии монографий» немецкого издательства Шпрингер, представляется несколько слишком трудной для указанных категорий читателей. Поэтому было желательно дополнить ее ссылками на русскую учебную и научно-популярную литературу и в некоторых местах расшифровать подробнее мысль автора Вторая причина, сделавшая нужными примечания, заключается в том, что эта книга — редкое явление для монографии по математике — сильно устарела за истекшие четыре года. Выше уже говорилось о большом интересе к проблемам дискретной геометрии, наблюдающемся последнее время. Фейеш Тот стремился своей книгой еще больше стимулировать этот интерес; насколько ему это удалось, лучше всего показывает большое число поставленных здесь проблем, решенных за сравнительно короткий срок, прошедший после выхода немецкого издания.

Особо следует отметить доказательство австрийским геометром А. Флорианом неравенства (V, 5, 3), придавшее главе V книги гораздо более законченный характер.

Первое из заключающих книгу двух кратких приложений редактора содержит сводку имеющихся результатов, относящихся к наиболее важным для всех приложений проблемам заполнения и покрытия -мерного евклидова (и сферического) пространства равными шарами; второе — ставит своей целью проиллюстрировать на одном простом примере топологического характера пользу, которую могут принести рассматриваемые в этой книге вопросы вне рамок самой дискретной геометрии.

В заключение я считаю своим приятным долгом поблагодарить моих иностранных коллег Й. Молнара (Будапешт) и А. Флориана (Гарц), оказавших мне помощь присылкой оттисков своих статей и ценными замечаниями.

Москва, август 1957

И. М. Яглом