§ 3. Приближение шара многогранниками

Если расстояние выпуклого -гранника от единичного шара К равно , то содержится в концентричном с К шаре радиуса и содержит концентрический шар радиуса Поэтому, согласно (2,3),

Это утверждение остается в силе также и для многогранника с вершинами. Несложный подсчет позволяет вывести отсюда, что расстояние многогранника имеющего вершин или граней, от единичного шара К

Равенство здесь может достигаться только при , а именно когда есть концентрический с К правильный многогранник, для которого среднее арифметическое радиусов вписанного и описанного шаров равно 1.

Если, следуя Штейнеру, заменить многоугольники с постоянным числом вершин или граней более узким классом изоморфных многогранников, т. е. многогранников одного топологического типа , то можно будет утверждать, что из многогранников, изоморфных данному правильному многограннику, лучше всего апроксимирует шар сам правильный многогранник.

Из неравенства (1) следует также, что

это последнее неравенство дает точную асимптотическую оценку расстояния для больших значений .

Так как число вершин или число граней многогранника с k ребрами не больше то в неравенство (1) или в эквивалентное ему неравенство (2,3) можно ввести также число ребер многогранника. Назовем минимальным шаровым слоем многогранника Р шаровой слой, ограниченный двумя концентрическими шарами радиусов R и , первый из которых содержит Р внутри себя, а второй содержится в Р, и такой, что для него отношение — достигает наименьшего возможного значения. Тогда имеет место следующая теорема:

Если R и радиусы минимального шарового слоя выпуклого многогранника Р с k ребрами, то

причем равенство достигаемся только в том случае, если многогранник Р — правильный.

Обратимся теперь к некоторым обобщениям неравенства (2,3). Прежде всего докажем следующие две эквивалентные друг другу теоремы:

Пусть в выпуклом многограчнике с гранями, все вершины которого трехгранные, содержится единичный шар; если — расстояния от центра шара до вершин многогранника, то

Пусть выпуклый многогранник с вершина и и, все грани которого треугольные, содержится внутри единичного шара с центром во внутренней точке О многогранника, если — расстояния центра О шара до граней многогранника, то

Здесь — среднее арифметическое чисел; — среднее гармоническое [12],

Так как неравенства (3) и (4) получаются одно из другого с помощью полярного преобразования, то достаточно доказать одно из них, например неравенство (4). Можно предположить, что вершины лежат на шаре. Если - грань многогранника, удаленная от центра шара на расстояние , то

где есть площадь сферического треугольника Здесь учитывается то обстоятельство, использованное также и в доказательстве (2,3), что среди сферических треугольников, вписанных в круг, разносторонний треугольник имеет наибольшую площадь [118]. Принимая во внимание еще, что и что — при есть выпуклая функция , получаем отсюда:

что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к дальнейшим обобщениям неравенств (3) и (4), порожденным неравенством Эрдеша—Морделта (1,5,5) для треугольника. Обозначим через расстояния от внутренней точки О до граней тетраэдра, и через -расстояния от О до вершин тетраэдра.

Д. К. Казаринов отметил то замечательное обстоятельство, что неравенство

которое явилось бы естественным обобщением неравенства (1,5,5) на случай пространства, на самом деле, вообще говоря, не выполняется. Более точно Казаринов показал, что

причем постоянную здесь нельзя заменить на большую.

Следовательно, в пространстве можно лишь в том случае прийти к анатогичному (1,5,5) неравенству, выражающему некоторое экстремальное свойство правильного тетраэдра, если заменить каким-либо меньшим средним величин Мы покажем, что среднее гармоническое удовлетворяет этой цели.

Докажем следующие, более общие теоремы:

Если обозначить через расстояния от вершин выпуклого многогранника с вершинами, все грани которого являются треугольниками, до его внутренней точки О и через — расстояния от его граней до О, а через - числа ребер, сходящихся в соответствующих вершинах многогранника, то

Если обозначить через расстояния от граней выпуклого многогранника с гранями, все вершины которого трехгранны, до его внутренней точки О и через — расстояния от его вершин до О, а через - числа сторон соответствующих граней многогранника, то

Здесь есть среднее арифметическое величин взятых с весами Аналогичный смысл имеет , а также

Пример тетраэдра показывает, что в этих неравенствах нельзя заменить на и — на .

Мы покажем также, что нельзя заменить на на . Таким образом, наши неравенства являются довотьно точными и они исчерпывают почти все, что можно высказать в этом направлении.

Неравенства (5) и (6) также получаются одно из другого с помощью полярного преобразования; поэтому достаточно доказать неравенство (5). Пусть - грань многогранника, F — основание перпендикуляра, опущенного из внутренней точки О многогранника на и пространственный угол тетраэдра при вершине Нетрудно показать, что если двигать точки в их плоскости так, чтобы угол а не изменился, то достигнет минимума в том случае, когда будет являться правильным треугольником с центром в следующем параграфе мы докажем соответствующее утверждение для многоугольника с произвольным числом вершин. Несложный подсчет приводит отсюда к следующему неравенству:

Следовательно, в силу (1,5,3) имеем:

откуда, учитывая вогнутость функции при получаем:

то есть

Если просуммировать соответствующие неравенства, выписанные для всех граней многогранника, то получим:

Но так как функция

в силу

выпукла, то согласно теореме Иенсена имеем:

А так как , то это неравенство эквивалентно неравенству (5).

Покажем еще для примера, что неравенство

вообще говоря, не имеет места. Рассмотрим урезанный додекаэдр (3, 10, 10) с длиной ребра 2. Он имеет 60 вершин, расстояние которых от центра треугольных граней, расстояние которых от центра , десятиугольных граней, расстояние которых от центра . Следовательно,

а это меньше, чем

С другой стороны, неравенство (6) здесь выпочняется: