§ 6. Исторические замечания

Все результаты гл. I принадлежат Шютте и Ван дер Вардену. Как на главный результат их работы (1] можно указать на то обстоятельство, что здесь, по-видимому, впервые указано экстремальное свойство архимедова полуправильного многогранника (многогранника 3, 3, 4)). Этот результат (так же как и подтверждаемое неравенством (3,1) предположение относительно экстремального свойства полуправильного многогранника 3, 3, 4)) можно считать началом изучения экстремальных свойств полуправильных многогранников.

Доказательство в § 2 по сравнению с первоначальной работой [1] Шютте и Ван дер Вардена содержит одно упрощение, на которое обратил мое внимание Ван дер Варден.

Экстремальное свойство многогранника (3, 3, 3, 4) высказал впервые как предположение Рутисхаузер [1].

Кроме того, Рутисхаузер указал относительно благоприятное расположение 20 точек, наименьшее расстояние между которыми равно Это расположение симметрично относительно экваториальной плоскости: точек являются вершинами правильных шестиугольников, вписанных в экватор и в два равных широтных круга, и 2 точки совпадают с полюсами. Соответствующий граф содержит 6 ромбов, лежащих в экваториальной зоне, 12 треугольников и 2 правильных шестиугольника, в каждом из которых лежит по одной изолированной точке. Однако этот второй указанный Рутисхаузером многогранник не является экстремальным. Действительно, Ван дер Варден [1] нашел более выгодное расположение 20 точек, наименьшее расстояние между которыми приблизительно равно

К задаче о плотнейшем заполнении сферы кругами примыкает вопрос о том, как много единичных материальных шаров можно приложить к единичному шару. Относительно того, равно ли это число 12 или 13, спорили еще Ньютон и Грегори. Этот вопрос был решен Шютте и Ван дер Варденом, которые доказали, что искомое число равно 12, иначе говоря, на единичной сфере имеется самое большое 12 точек (евклидово), расстояние между которыми не меньше 1 [164].

При определении максимальной фигуры для как и при доказательстве неравенства , используется следующая лемма, доказанная Хабихтом и Ван дер Варденом [1]: если равносторонний сферический -угольник с длиной сторон а обладает тем свойством, что расстояние между каждыми двумя его вершинами не меньше а, то

Для этого неравенства, частный случай которого приведен в § 3 и из которого можно очень просто вывести неравенство (1,1), Молнар [2] нашел весьма простое доказательство.

Подход к доказательству неравенства был намечен Бёрдьиком [1]. Дальнейшие исторические сведения относительно этого круга вопросов имеются у Уайта

Граф, отвечающий определенной системе точек, рассматривался уже в работе Хабихта и Ван дер Вардена. Можно ожидать, что и при более глубоком развитии теорий, относящихся к задачам о наиболее благоприятных расположениях, теория графов найдет широкие применения. Учебное изложение теории графов дано Кёнигом [1].

Упомянем еще одну задачу, в которой, по-видимому, с успехом может быть использовано понятие графа, а именно задачу о редчайшем покрытии сферы равными кругами (сферическими).

Рассмотрим заданную систему точек на единичной сфере; эти точки мы будем называть черными.

Рис. 115.

Рассмотрим далее точку сферы, расстояние которой от ближайшей черной точки достигает наибольшей возможной величины а; такую точку мы назовем белой. Если соединить белые точки с ближайшими к ним черными точками, то мы получим граф (рис. 115). Задача о редчайшем покрытии кругами сводится к определению такого расположения черных точек, при котором длина ребра а соответствующего графа будет наименьшей.

Легко показать, что отрезки такого графа не пересекаются. Далее очевидно, что каждая белая точка соединена самое меньшее с тремя черными точками, которые не лежат все с одной стороны от какой-либо большой окружности, проходящей через данную белую точку.

Аналогичное утверждение можно высказать для минимального графа и относительно черных точек: если ребра, выходящие из черной точки S, принадлежат одной полусфере, ограниченной проходящей через большой окружностью, то можно S так сдвинуть в сторону, что первоначальные длины всех выходящих из S отрезков уменьшатся. Граф, ни одну из черных точек которого нельзя сдвинуть в сторону, назовем неприводимым. Минимальный граф при помощи подходящих сдвигов в сторону всегда можно превратить в неприводимый минимальный граф. Сфера разбивается неприводимым графом на выпуклые многоугольники. Вершины такого многоугольника попеременно являются черными и белыми точками; поэтому число сторон каждого многоугольника четно.

Таким образом, мы приходим к понятиям, по-видимому, весьма полезным при решении задачи двойственной, разобранной в этой главе. Было бы весьма желательно определить с помощью этого понятия несколько первых минимальных фигур