§ 4. Покрытие разрезанными на куски выпуклыми фигурами

Рассмотрим большое число небольших фигур общей площади 1, относительно которых нам известно только, что они не «слишком» различаются между собой. В общем случае, естественно, не удастся покрыть этими фигурами квадрат, например, площади для того чтобы достигнуть этого, нам придется разбить рассматриваемые выпуклые фигуры подходящим образом на более мелкие части.

Предположим теперь, что мы разбиваем каждую выпуклую фигуру на одно и то же число k кусков, и спросим, как велико должно быть k для того, чтобы требуемое покрытие заведомо могло быть осуществлено.

Аналогично этому можно спросить, как велико должно быть число k для того, чтобы выпуклыми фигурами, разрезанными на k кусков каждая, можно было заполнить квадрат, площадь которого равна, например, 1,001.

Чтобы дать этим задачам точные формулировки, рассмотрим нормальную последовательность выпуклых фигур и разобьем каждую фигуру на выпуклых кусков При этом мы придем к новой последовательности выпуклых фигур Эта последовательность не обязательно должна быть также нормальной; нетрудно, однако, показать, что Для нее также существуют экономичность заполнения и покрытия не зависящие от формы заполняемой, соответственно покрываемой, области. При этом можно поставить вопрос о наибольших значениях экономичности, которые могут быть достигнуты при наиболее выгодном разбиении фигур на куски.

Следующая теорема относится к покрытию:

Все выпуклые фигуры произвольной нормальной последовательности всегда можно разбить на выпуклых частей так, что экономичность покрытия для полученной последовательности кусков

Если все рассматриваемые выпуклые фигуры центрально-симметричны и k нечепно, то имееп место более точная оценка

Если спросить теперь, например, как выше, о покрытии, при котором теряется только площади выпуклых фигур (W = 0,999), то мы увидим, что здесь всегда можно обойтись разбиением выпуклых фигур на 40 кусков

При этом для того чтобы достигнуть этого результата в общем случае, вероятно, не удастся обойтись «существенно» меньшим числом кусков. Точнее говоря, можно предположить, что неравенство

которое непосредственно вытекает из неравенства (1), дает точную асимптотическую оценку для больших значений k.

При k 1 используется первоначальная последовательность выпуклых фигур. В этом случае неравенство (1) дает что является более слабым результатом, чем оценка (3,2). Напротив, неравенство (2) при совпадает с точной оценкой (3,3).

Для доказательства убедимся сначала, с помощью соображений предыдущего параграфа, что достаточно доказать теорему для равных выпуклых фигур. Затем в выпуклую фигуру впишем - -угольник наибольшей возможной площади и разобьем Р, например, сечениями выпуклых четырехугольников; при этом также распадется на k выпуклых кусков. Мы утверждаем, что такое разбиение каждой выпуклой фигуры удовлетворяет условию (1). Действительно, если обозначить наибольший квадрат, который можно покрыть кусками, почучающимися при разбиении на части фигур, через а наибольший квадрат, который можно покрыть четырехугольниками, получающимися при разбиении Р — через то будем иметь, так как каждый четырехугольник есть область замощения, что

С другой стороны, учитывая (11,4,1), получим;

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Для доказательства неравенства (2) впишем в центральносимметричную выпуклую фигуру концентричный с ней центрально-симметричный )-угольник площади

и разобьем Р с помощью сечений

на выпуклый четырехугольник и один центральносимметричный выпуклый шестиугольник. Так как такой шестиугольник есть также область замощения, то все дальнейшие рассуждения совсем не приходится изменять.

Аналогично можно показать, что с помощью разбиения каждой выпуклой фигуры нормальной последовательности на k подходящих выпуклых кусков можно прийти к экономичности заполнения , где — верхняя грань площади минимального -угольника, описанного вокруг выпуклой фигуры площади 1. В силу трудностей, с которыми связано определение мы ограничимся здесь асимптотической оценкой

По-видимому, имеет место даже неравенство

из которого должно следовать, что для заполнения плоскости разбитыми на части выпуклыми фигурами всегда можно обойтись разбиением каждой из фигур на 29 кусков.