§ 1. Заполнение и покрытие сферы равными кругами

В этой главе будет часто встречаться выражение 11 для которого мы введем специальное обозначение

есть угол равностороннего сферического треугольника площади . Так как равно числу граней многогранника с вершинами, все грани которого являются треугольниками, то — это средняя площадь сферического треугольника, получающегося при разбиении единичной сферы на треугольники сетью дуг больших окружностей, отвечающих ребрам многогранника с треугольными гранями, имеющего вершин.

Докажем теперь следующие теоремы:

Если на сфере расположены непересекающихся равных (сферических) кругов, то плотность расположения

Если сфера покрыта равными (сферическими) кругами, то плотность покрытия

Равенство в (1) и (2) достигается, лишь если 6 или 12, и центры кругов суть вершины вписанного в сферу правильного треугольника, тетраэ октаэдра или икосаэдра.

Далее можно показать, что правая часть неравенства (1) с ростом монотонно возрастает, стремясь к значению а правая часть неравенства (2) монотонно уменьшается, стремясь к пределу Таким образом, плотность расположения на сфере трех или более непересекающихся кругов меньше аналогично, плотность покрытия сферы тремя или более равными кругами больше

Заметим, наконец, что для больших значений неравенства (1) и точные асимптотические оценки. Поэтому в определенном смысле можно сказать, что равенство в соотношениях (1) и (2) может достигаться только при n = 3, 4, 6, 12 и ; при этом оно достигается в том случае, если центры кругов суть вершины правильных многогранников с треугольными гранями или

Приведенное ниже простое доказательство совершенно аналогично проходит для обоих неравенств. При в верности наших неравенств можно убедиться непосредственно мы ограничимся поэтому случаем Далее можно предположить, что центры (сферических) кругов не лежат на одной полусфере, так что касательные плоскости сферы, проведенные в точках ограничивают -гранник U. Если спроектировать грани U из центра сферы на ее поверхность, то получим сферических многоульников сумма площадей которых равна . С другой стороны, эту же сумму площадей мол но оценить следующим образом. Если круги не пересекаются, то заключается внутри многоугольника Р Если же полностью покрывают сферу, то, напротив, заключает многоугольник внутри себя. Так как мы будем оценивать сумму площадей в первом случае снизу, а во втором случае сверху, то мы можем считать, что каждый многоугольник в первом случае описан вокруг круга во втором случае — вписан в при этом нам придется еще уменьшить эти многоугольники в первом случае и увеличить во втором.

Разложим теперь каждый многоугольник Р, - в прямоугольные треугольники с общей вершиной . Общее число полученных таким образом прямоугольных треугольников будет равно , где k — число ребер U. Возьмем одни такой прямоугольный треугольник А; пусть его угол при вершине равен а. Обозначив (сферический) радиус круга через , мы потучим, согласно формуле

в первом стучае и

во втором случае.

Заметим теперь, что А представтяет собой в первом случае выпуклую, а во втором — вогнутую (при ) функцию а. Поэтому в ситу неравенства Пенсена

или, соответственно,

то

Но так как в силу , то отсюда вытекают неравенства

и

эквивалентные (1) и (2).

Исследование случаев, когда здесь достигается равенство, не представляет затруднений.